数学講究１

科目名	数学講究１
教員名	下元　数馬
単位数	3	学年	3	開講区分	文理学部
科目群	数学科
学期	前期	履修区分	必修

授業テーマ	初等整数論、特にガウスの平方剰余の法則や拡張された整数の世界での因数分解の法則について学ぶ。具体的な計算例についても触れる。
授業のねらい・到達目標	整数論は長い歴史を持ち、中でも17世紀に提出されたフェルマーの最終定理は350年近く未解決の問題でした。整数論の問題の特徴として、中学程度の数学の知識で理解できるものが多いが、解くことが非常に困難ということが挙げられます。ここでは初等的な代数学を使って2次体や素数の分解法則、イデアル類群といった基本的な概念について学びます。重要なことですが、教科書に書かれている証明を自分なりに再構築して他人に説明することが求められます。セミナーを通じて整数論の面白さに触れ、合理的な思考力を徹底的に身に付けることが目標となります。
授業の方法	進めかたとしてセミナー形式を基本とします。毎回、該当する箇所をあらかじめ読み込んで準備をしてきてください。全員参加型のセミナーで発表者の内容に関して質問をすることが重要です。数学の勉強では稚拙でもよいので疑問に感じたことは何でも質問することは大歓迎です。
履修条件	学科の内規による。
事前学修・事後学修，授業計画コメント	簡単な群論(アーベル群)について復習してきて下さい。

授業計画
1	学生による輪読
2	学生による輪読
3	学生による輪読
4	学生による輪読
5	学生による輪読
6	学生による輪読
7	学生による輪読
8	学生による輪読
9	学生による輪読
10	学生による輪読
11	学生による輪読
12	学生による輪読
13	学生による輪読
14	学生による輪読
15	学生による輪読
16	学生による輪読
17	学生による輪読
18	学生による輪読
19	学生による輪読
20	学生による輪読
21	学生による輪読
22	学生による輪読
23	学生による輪読
24	学生による輪読
25	学生による輪読
26	学生による輪読
27	学生による輪読
28	学生による輪読
29	学生による輪読
30	学生による輪読

その他
教科書	青木昇『素数と2次体の整数論（数学のかんどころ　15）』共立出版 2012年第1版
参考書	高木貞治『初等整数論講義』共立出版 1971年第2版山本芳彦『数論入門（現代数学への入門）』岩波書店 2003年雪江明彦『整数論1: 初等整数論からp進数へ』日本評論社 2013年第1版「初等整数論講義」は古めかしいかもしれないが、わが国を代表する数学者による歴史的名著である。二次体、素数定理、二次形式、ゼータ関数にも触れられており、現代数論への入門書として良い。「数論入門」は「初等整数論講義」の現代版です。合同式、ルジャンドル記号、平方剰余法則に始まって、楕円曲線、ヒルベルト類体、ヤコビ多様体について書かれている。ガロア理論の究極系の一つともいえる類体論への入門書としても良い。「整数論1: 初等整数論からp進数へ」は数論では欠かせないp進数の考え方が述べられている。またわが国を代表する数学者である岩澤健吉が創始した円分拡大の数論(Z_p-拡大の理論)でもp進数は欠かせない。
成績評価の方法及び基準	平常点(70%)、レポート(30%) ゼミでの発表態度や熱意を重視します。発表者にはレポートを書いてもらいそれも成績の評価の対象にします。
オフィスアワー	下元研究室にて行う。時間帯はメンバーと相談して決める。
備考	数論は広大な分野であり、中でも高木貞治、岩澤健吉、志村五郎、井原康隆、加藤和也、肥田晴三、望月新一など、世界的な業績を挙げた日本人数学者が数多く居ます(これら以外にも偉大な数学者は沢山居られます)。皆さんにはこれら先人の業績に触れ、整数の世界を楽しんで欲しいと思います。