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科目名平成28年度入学者	＊＊＊＊＊
科目名平成27年度以前入学者	数学研究１
教員名	下元　数馬
単位数	2	学年	4	開講区分	文理学部
科目群	数学科
学期	前期	履修区分	必修

授業テーマ	素数と有理数体上の整数論について扱う。フェルマーの大定理のn=3,4の場合の証明、代数体のイデアル類群、そして相互法則の異なる証明を理解することを目指します。
授業のねらい・到達目標	代数学で学んだ環論や有限体の知識を元にして、整数への理解を深めたいと思います。3年次までに学んだ「代数の世界」の知識が更に深化した形で登場します。イデアルという概念はイデアルの作る群である「イデアル類群」として整数論には欠かせません。しかしながらその原点は中学生の知識でも理解できる素朴なものです。古代ギリシャやアラビアで発達した数の概念は中世のヨーロッパで盛んに研究され今日に至っています。素数の振る舞いはランダムであり非常に興味深い対象であることを知ってもらうことが最終的な目標となるでしょう。
授業の方法	基本的な進め方は各個人による発表形式です。該当する部分を読み込んで自分なりに理論を再構築することが重要です。また質問等は稚拙でも良いので大歓迎です。本に書かれていることで疑問を感じたら調べるようにすると良いです。
履修条件	学科の内規による。
事前学修・事後学修，授業計画コメント	代数学の知識。特に群論、可換環、イデアルなど。各回において発表者は発表の準備を念入りに行うこと。事前学修の内容は相談して決めます。

授業計画
1	学生とのミーティング。今後の方針を決める。
2	今までの復習と資料探し。
3	学生による発表（素数について１）
4	学生による発表（素数について２）
5	学生による発表（素数の応用１）
6	学生による輪発表（素数の応用２）
7	今までの内容について理解を深めて議論を行う（2人程度・前半）。
8	今までの内容について理解を深めて議論を行う（2人程度・後半）。
9	自ら取り組みベキテーマについて話し合う（2人程度・前半）
10	自ら取り組みベキテーマについて話し合う（2人程度・後半）
11	フェルマーの定理（n=3の場合）
12	フェルマーの定理（n=4の場合）
13	イデアル類群１
14	イデアル類群２
15	今までのまとめと「数学研究２」ついて話し合う。

その他
教科書	青木昇『素数と2次体の整数論（数学のかんどころ　15）』共立出版 2012年第1版内容は豊富であるが、証明で説明が足りないところは以下の参考書などで補うようにして下さい。
参考書	高木貞治『初等整数論講義』共立出版 1971年第2版倉田令二朗『平方剰余の相互法則―ガウスの全証明』日本評論社 1992年第1版「平方剰余の相互法則―ガウスの全証明」ではガウスによる相互法則のすべての証明が解説付きで述べられており、本講義でも参考なるでしょう。「初等整数論講義」は2次体の数論について詳しく述べられています。
成績評価の方法及び基準	平常点(70%)、レポート(30%)
オフィスアワー	下元研究室にて行う。時間帯はメンバーと相談して決める。
備考	整数論は現在も大きく発展を続けています。整数論＝代数学では無く、解析学、幾何学や物理学の手法も積極的に取り入れており、数論を学ぶことによって数学に境界は存在しないことが理解できると思います。色々な数学に興味を持って挑戦してみて下さい。