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自主創造の基礎１

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平成28年度以降入学者 自主創造の基礎１
平成27年度以前入学者 基礎数学セミナー
教員名 山浦義彦
単位数    2 学年    1 開講区分 文理学部
科目群 数学科
学期 前期 履修区分 必修
授業概要 集合と写像に関する基礎的な項目を具体例を通じて理解する. これらの内容は高等学校でも
ある程度学んできたことであるが, その扱いは各段に論理的になる. そのことで戸惑わない
ように, 論理的命題の理解とその証明も合わせて学んでいく. 多くの具体例を挙げそれを
論理的に証明する練習を積むことで, 論理そのものの理解を深め, 証明技術を身に着けてもらう.
授業のねらい・到達目標 【授業のねらい】集合と写像に関する言葉を理解し, 専門数学での扱い方を習得してもらう
ことがねらいである. これらの考え方は, 線形代数学, 微分積分学に直結するのでそれらの科目
で円滑に勉学が進められるようにすることも大きなねらいの一つである.
【到達目標】集合の表記方法を正しく理解し, それから集合をとらえたり, 集合を自分で正しく
表記できるようになることが目標である. また, 集合の等式を論理的に証明することが
できるようになること, 全射, 単射の概念を正確に理解してそれを証明できるようになる
ことも目標である.
この科目は文理学部（学士（理学））のディプロマポリシーDP3,DP4,DP5 及びカリキュラムポリシー CP1,CP7 に対応しています。
及びカリキュラムポリシーCP10に対応しています。
授業の方法 少人数のセミナー形式の講義である.
毎回発表者を決め, 自作テキスト(簡易製本版)に従って範囲を指定し自分で考えてきたことを
ホワイトボードを使って発表していただく. その際に, 数学的内容の補足や勉強方法に
ついてきめ細かくアドバイスを与える. 発表者以外の学生は自分が疑問に感じたことを
積極的に質問し討論することで, 数学の諸定義や考え方, 証明方法を明確に理解してもらう.
少人数での授業であるため, 一人一人の理解度を確認しながら授業を進める.
本授業の事前・事後学習は各々２時間の学習を目安とする。
履修条件 特になし
授業計画
1 集合とは何か
【事前学習】高校で学んだ集合とはどういうものであったか復習しておくこと.
【事後学習】大学での集合とどのようにとらえ方が異なるかまとめること.
2 集合の表記の方法
【事前学習】高校で学んだ集合の表記方法を復習しておくこと.
【事後学習】集合から元を取り出す, あるいは元が集合に属することの同値条件をまとめておくこと.
3 具体的集合の表記の練習
【事前学習】高校でも扱った集合を前回講義で学んだ方法で表記してみること.
【事後学習】高校のときとの表記の相違を理解すること.
4 集合の包含関係の定義
【事前学習】ある集合がほかの集合に含まれることをベン図で表すとどうなるか考えておくこと.
【事後学習】ベン図を使わずに集合の包含関係を定義するとはどういうことか理解すること.
5 具体的集合の包含関係の証明
【事前学習】ベン図を描くことでは証明できない集合の包含関係があることを理解しおくこと.
【事後学習】論理による集合の包含関係の証明方法を習得すること.
6 写像と関数
【事前学習】関数とは何か? 他人に説明するために考えてくること.
【事後学習】対応規則を正しく理解すること.
7 具体的な関数に対する対応規則の確認
【事前学習】対応規則を復習しておくこと.
【事後学習】これまでよく知っていた関数が本当に関数の定義を満たすかどうか確認できること.
8 関数の定義域と値域
【事前学習】高校で学んだ関数の定義域と値域を復習してくること.
【事後学習】値域を求めて証明する方法を習得しその意義を理解すること.
9 全射, 単射
【事前学習】値域の概念を復習しておくこと.
【事後学習】全射, 単射の相違を理解すること.
10 具体的関数に対する全射性と単射性の検証
【事前学習】全射と単射の定義を明確にしておくこと.
【事後学習】具体的な関数が全射であるか単射であるかを直観で理解し論理的に証明できるようにすること.
11 集合の演算
【事前学習】高校で学んだ和集合, 共通集合とはどういう概念だったか復習しておくこと.
【事後学習】高校までで知っていた集合の演算の考え方との相違点をまとめておくこと.
12 集合の演算に関する公式
【事前学習】様々な公式をベン図で理解しておくこと.
【事後学習】論理的に公式を証明できるようになること.
13 無限個の区間の和集合, 共通集合
【事前学習】極限の考え方を復習しておくこと.
【事後学習】無限個の区間の和集合と共通集合を直観と論理の両面で理解できるようになること.
14 逆写像の概念
【事前学習】高校で学んだ逆関数という考え方を復習しておくこと.
【事後学習】逆対応の考え方で高校の逆関数を説明できるようにすること.
15 具体的な逆写像の例の検証
【事前学習】逆写像の定義を明確にしておくこと.
【事後学習】逆写像がある場合とない場合の具体例の検証
その他
教科書 山浦義彦 『2019年度基礎ゼミ (山浦) テキスト「集合と写像の基礎知識」』 簡易製本 2019年 第1版
日本大学文理学部数学科 『数学基礎セミナー』 日本評論社
セミナーでは簡易製本版を使って進めますが, 数学基礎セミナー(学内書店にて販売)
も適宜使います. 簡易製本版はセミナー時に販売します.
参考書 使用しない
成績評価の方法及び基準 授業参画度(100%)
授業参画度とは, 口頭発表の内容, およびその準備状況を総合評価することを意味します.
また, 聞き手として自分の疑問点を質問するなどセミナーへの積極的参加度も考慮して
成績評価を行います.
オフィスアワー 金曜日 午後 山浦研究室

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