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代数学特論Ⅱ

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令和２年度以降入学者 代数学特論Ⅱ
令和元年度以前入学者 代数学特論Ⅱ
教員名 下元数馬
単位数    2 課程 前期課程 開講区分 文理学部
科目群 地球情報数理科学専攻
学期 後期 履修区分 選択必修
授業の形態 毎回、対面形式で行う。
Blackboard のコースID:20214061
授業概要 岩澤理論の基礎について学ぶ。p-進数の概念から出発して、代数体のイデアル類群、Z_p-拡大や岩澤の類数公式について学ぶ。また数論において扱われる典型的な可換環の構造についても調べる。
授業のねらい・到達目標 現代の数論におけるp-進数による基本的な方法論について習得することができる。
最終的に以下の内容について理解を深めることができる。
・代数体とイデアル類群
・解析的なゼータ関数とp-進ゼータとの関係
・Z_p-拡大から派生する岩澤代数と呼ばれる可換環の性質
授業の方法 授業の形式：【講義】
対面形式で行うが、出席できない学生に対してはレポート課題等で対応する。
授業計画
1 準備と復習１（イデアル類群）
【事前学習】イデアル類群の復習 （２時間）
【事後学習】第1回目の内容の復習 （２時間）
2 準備と復習２（有限群）
【事前学習】有限群の指標 （２時間）
【事後学習】第2回目の内容の復習 （２時間）
3 局所体１（非アルキメデス絶対値と完備化）
【事前学習】非アルキメデス絶対値と完備化 （２時間）
【事後学習】第3回目の内容の復習 （２時間）
4 局所体２（p-進数）
【事前学習】p-進数 （２時間）
【事後学習】第4回目の内容の復習 （２時間）
5 局所体３（p-進数と代数体の関係）
【事前学習】p-進数と代数体の関係 （２時間）
【事後学習】第5回目の内容の復習 （２時間）
6 代数的整数論１（代数体のガロア拡大）
【事前学習】代数体のガロア拡大 （２時間）
【事後学習】第6回目の内容の復習 （２時間）
7 代数的整数論２（不分岐拡大とFrobenius元）
【事前学習】不分岐拡大とFrobenius元 （２時間）
【事後学習】第7回目の内容の復習 （２時間）
8 代数的整数論３（類体論）
【事前学習】類体論 （２時間）
【事後学習】第8回目の内容の復習 （２時間）
9 円分拡大１（無限次ガロア拡大１）
【事前学習】無限次ガロア拡大１ （２時間）
【事後学習】第9回目の内容の復習 （２時間）
10 円分拡大２（イデアル類群と円分拡大１）
【事前学習】イデアル類群と円分拡大１ （２時間）
【事後学習】第10回目の内容の復習 （２時間）
11 円分拡大３（ガロア群と群）
【事前学習】ガロア群と群環 （２時間）
【事後学習】第11回目の内容の復習 （２時間）
12 円分拡大４（逆極限と岩澤代数）
【事前学習】逆極限と岩澤代数 （２時間）
【事後学習】第12回目の内容の復習 （２時間）
13 円分拡大と類数公式１（岩澤代数上の加群）
【事前学習】岩澤代数上の加群 （２時間）
【事後学習】第13回目の内容の復習 （２時間）
14 円分拡大と類数公式２（類数公式の定式化と証明１）
【事前学習】類数公式の定式化と証明１ （２時間）
【事後学習】第14回目の内容の復習 （２時間）
15 円分拡大と類数公式３（類数公式の定式化と証明２）
【事前学習】類数公式の定式化と証明２ （1時間）
【事後学習】第15回目の内容の復習 （2時間）
その他
教科書 教科書は指定しない。
参考書 加藤和也、斎藤毅、黒川信重 『数論１』 岩波書店 2005年
加藤和也、斎藤毅、黒川信重 『数論２』 岩波書店 2005年
L.C.Washington, Introduction to Cyclotomic Fields :Graduate Texts in Mathematics , Springer, 2012, 2 edition
落合理 『岩澤理論とその展望(上) （岩波数学叢書）』 岩波書店 2014年 第1版
和書、洋書を含めて色々な本が出版されているので参考にするとよい。
成績評価の方法及び基準 レポート(40%)、授業参画度(60%)
毎回の質問などの積極性を授業参画度として評価する。
オフィスアワー 講義終了後にメールなどで行う。

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