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初等整数論

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令和２年度以降入学者 初等整数論
教員名 大関一秀
単位数    2 学年 2～4 開講区分 文理学部
科目群 数学科
学期 前期 履修区分 選択
授業形態 対面授業（一部遠隔授業）
授業の形態 対面授業(状況に応じて遠隔授業との併用で進める)
Canvas LMSコースID・コース名称 P05723A06　2024初等整数論（大関一秀・前・水4）
授業概要 この講義では高校数学で学んだ文字式や方程式、整数の概念を一般化した抽象代数学の考え方とその手法について学修する。具体的には合同式、素数、多項式など既に馴染みのある対象を通じて概念の習得を目指す。終盤には、整数の理論の抽象化として群・環・体の初歩について学ぶ。
授業のねらい・到達目標 ＜授業のねらい・到達目標＞
＃整数論の初歩を学修することで、素数の性質や合同方程式の意味や解き方を身に付ける。
＃整数や多項式の演算に触れながら現代代数学の考え方である、群・環・体の初歩について説明できる。
＃演習問題を通じて諸概念の使い方を習得する。以下のキーワードについて事前に調べておくと良い。
・最小公倍数と最大公約数
・素数
・合同式
・ユークリッド互除法
・オイラー関数
・フェルマーの小定理とオイラーの定理
・群・環・体

＜デイプロマポリシーとの関係＞
この科目は, 文理学部（学士（理学））のディプロマポリシー DP3,4,5,8 及びカリキュラムポリシー CP3,4,5,8に対応しています。

＜日本大学教育憲章との関係＞
・数理科学に基づいて学んだ知識をもとに、物事の本質を論理的、客観的に捉えることができる(A-3-2)。
・日常生活における現象に潜む数理科学的問題を発見し、内容を説明することができる(A-4-2)。
・与えられた問題に取り組む気持ちを持つことができる(A-5-1)。
・自分の学修経験の振り返りを継続的に行うことができる(A-8-1)。
授業の形式 講義
授業の方法 講義を中心に対面形式で行う。補足教材や演習問題は Canvas LMS にて配布する。授業の後半部分は演習問題を解きながら解説をしたり、受講生からの質問に対応しながら、授業で触れられなかった内容を補足説明をする。また、講義中に演習問題とレポート問題を出題するので、それらを解いて提出すること。提出方法については授業内で告知する。

毎回の授業では、新しい概念の定義を述べるだけでなく、その概念の必然性について具体例から説き起こすこともある。ノートや教科書を単に読むだけでなく、簡単な例題を授業中に出題し、それらを解きながら抽象的な考え方に慣れていけるように進めて行く予定である。

対面授業に参加できない場合は、担当教員に事前に許可を得ること。
その場合には、Zoom などによる参加を検討しているが、オンデマンド教材を配信することもある。
授業計画
1 ガイダンス: 授業の進め方や到達目標について理解し、記号や集合に関する基本事項について確認する。数学的帰納法について学修する
【事前学習】シラバスに目を通し、授業全体の流れを把握しておくこと。数学的帰納法について高校の教科書等で復習をしておくこと （2時間）
【事後学習】講義中に指定した演習問題を解き、数学的帰納法を用いた証明方法を身に付ける （2時間）
【授業形態】対面授業、オンデマンド型授業
2 除法の定理と関連する整数の理論について学修する
【事前学習】除法の定理について調べておくこと （2時間）
【事後学習】講義中に指定した演習問題を解き、除法の定理について理解を深める （2時間）
【授業形態】対面授業、オンデマンド型授業
3 最小公倍数と最大公約数について学修する
【事前学習】高校の教科書等にて、最小公倍数と最大公約数について復習しておくこと （2時間）
【事後学習】講義中に指定した演習問題を解き、最大公約数および最小公倍数に関する理論および計算方法（ユークリッドの互除法等）を身に付ける （2時間）
【授業形態】対面授業、オンデマンド型授業
4 素数について学修する（1）～素数の基本性質
【事前学習】高校の教科書等にて、素数について復習しておくこと （2時間）
【事後学習】講義中に指定した演習問題を解き、素数に関する基本性質の理解を深める （2時間）
【授業形態】対面授業、オンデマンド型授業
5 素数について学修する（2）～様々な素数について
【事前学習】完全数やフェルマー数について調べておくこと （2時間）
【事後学習】講義中に指定した演習問題を解き、様々な素数に関する理解を深める （2時間）
【授業形態】対面授業、オンデマンド型授業
6 同値関係と合同式について学修する～合同式の定義と基本性質
【事前学習】合同式および同値関係について調べておくこと （2時間）
【事後学習】講義中に指定した演習問題を解き、合同式の計算方法を身に付ける （2時間）
【授業形態】対面授業、オンデマンド型授業
7 1次合同式について学修する（１）〜1次合同式の計算方法
【事前学習】合同式の復習をした上で、１次合同式について調べておくこと （2時間）
【事後学習】講義中に指定した演習問題を解き、1次合同式の解法を身に付ける （2時間）
【授業形態】対面授業、オンデマンド型授業
8 授業内試験(中間試験)と問題の解説(A-3, A-4)
【事前学習】第１～６回までの講義内容を復習しておくこと （4時間）
【事後学習】中間試験問題の復習をし、解けなかった問題の解法を分析して解いておくこと(A-3,A-4,A-8)) （1時間）
【授業形態】対面授業
9 1次合同式について学修する（2）～連立1次合同式について
【事前学習】1次合同式の解き方を復習しておくこと （2時間）
【事後学習】講義中に指定した演習問題を解き、連立1次合同式の解法を身に付ける （2時間）
【授業形態】対面授業、オンデマンド型授業
10 整数論的関数について学修する
【事前学習】オイラー関数やメビウス関数について調べておくこと （2時間）
【事後学習】講義中に指定した演習問題を解き、整数論的関数に関する理解を深め、計算方法を身に付ける （2時間）
【授業形態】対面授業、オンデマンド型授業
11 フェルマーの小定理とオイラーの定理について学修する
【事前学習】合同式について復習した上で、フェルマーの小定理とオイラーの定理とはどのような定理なのか調べておくこと （2時間）
【事後学習】講義中に指定した演習問題を解き、フェルマーの小定理およびオイラーの定理を用いた解法を身に付ける （2時間）
【授業形態】対面授業、オンデマンド型授業
12 群について学修する～定義と基本性質
【事前学習】群について出来る限り調べておくこと （2時間）
【事後学習】講義中に指定した問題を解き、群の基本性質を理解すると共に具体例の計算を身に付ける （2時間）
【授業形態】対面授業、オンデマンド型授業
13 環と体について学修する～定義と基本性質
【事前学習】環と体について出来る限り調べておくこと （2時間）
【事後学習】講義中に指定した問題を解き、環と体の基本性質を理解すると共に具体例の計算を身に付ける （2時間）
【授業形態】対面授業、オンデマンド型授業
14 これまでの復習と今後の展望
【事前学習】第1～13回までの内容を総復習 （2時間）
【事後学習】期末試験に向けて準備問題を解く （2時間）
【授業形態】対面授業、オンデマンド型授業
15 授業内試験(期末試験)と問題の解説(A-3,A-4)
【事前学習】第１４回目までの講義内容について復習し、関連する問題を解いておくこと （6時間）
【事後学習】期末試験の復習(A-8) （1時間）
【授業形態】対面授業
その他
教科書 使用しない
参考書 松坂和夫 『代数系入門』 岩波書店 1976年
「代数系入門」は全体的に大変丁寧に説明がされていて、大学で学ぶべき主要な代数学の内容について習得することが出来る。受講者の理解度に応じて適宜講義中に追加で指定する可能性も有る。
成績評価の方法及び基準 レポート:各回の宿題をレポートとして評価する。(20%)、授業内テスト:中間試験、期末試験を実施し、それらの点数を評価する。(70%)、授業参画度:演習問題の提出状況により評価する。(10%)
レポートのフィードバックは、主に講義中の演習の時間帯に実施します。不足分は、プリント配布やCanvas LMSなどを通じて補います。
遠隔参加者に、オンデマンド教材を視聴してもらう場合には、課題の提出か、リフレクションシートにて授業参画度を評価します。
「授業内テスト」については別途相談致します。
・A-3,A-4の達成度については中間試験と期末試験で評価する。
・A-5については課題提出により判定する。
・A-8の達成度については机間指導により評価する。
オフィスアワー 必要に応じて適宜臨時のオフィスアワーを設ける。時間帯はCanvas LMSにて告知する。
備考 シラバスに記載されている内容は状況に応じて変更することもあり得る。その際には授業中やCanvas LMS を通じて告知する。

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