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ガロア理論

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令和２年度以降入学者 ガロア理論
教員名 吉田健一
単位数    2 学年 3･4 開講区分 文理学部
科目群 数学科
学期 後期 履修区分 選択
授業形態 対面授業（一部遠隔授業）
Canvas LMSコースID・コース名称 P07223A15　2024ガロア理論（吉田健一・後・水4）
授業概要 ガロアのアイデアに基づいてアルチンが整理した代数系の理論であるガロア理論を通じて，多項式の計算に習熟し，代数系（群・環・体）の理論の理解を深める。
授業のねらい・到達目標 ＜授業のねらい＞
この授業を通して，多項式からなる代数的構造の基礎理論を身に着ける。

＜到達目標＞
・群・環の基本概念を説明できる。
・体の代数的拡大に関するタワー型定理を使いこなすことができる。
・３次・４次方程式のガロア群を求めることができる。

＜ディプロマポリシーとの関係＞
この科目は文理学部（学士（数学））のディプロマポリシー DP3,4,5,8 及びカリキュラムポリシー CP3,4,5,8に対応しています。

＜日本大学教育憲章との関係＞
・物事を既存の知識にとらわれることなく，科学的根拠に基づいて論理的・批判的に考察し，説明することができる(A-3-3)。
・日常生活における現象に潜む科学的問題を発見し，専門的知識に基づいて解決案を作成できる(A-4-3)。
・新しい問題に取り組む意識を持ち、そのために必要な情報を収集することができる(A-5-2)。
・自分の学修経験の振り返りを継続的に行うことができる(A-8-1)。
授業の形式 講義
授業の方法 ・Canvas LMS により講義資料が配信される。
・当日配布された資料の解説を，対面授業として受ける。
・講義内容を理解したかどうかを確認されるために与えられた宿題を解いて，翌週提出する。
締め切り（原則として翌週まで）は担当教員により指示されるが，経過後は「遅延」として取り扱われる。
また，宿題は友人と議論して理解を深めた上で提出して構わない。
・宿題は簡単にチェックされて返却される（課題のフィードバック）
・中間試験と期末試験を行うので，必ず参加する。
授業計画
1 ガロア理論の背景説明，３次方程式のカルダノの解法を学ぶ(A-3,A-4)。
【事前学習】シラバスを確認し，ガロアについて調べてくること(A-5)。また、予習動画を視聴しておくこと。 （2時間）
【事後学習】宿題として、カルダノの解法の演習問題を解いて翌週に提出すること(A-4)。 （2時間）
【授業形態】対面授業
2 ４次方程式のフェラリの解法を学ぶ(A-3,A-4)。
【事前学習】高校数学（３次以下の多項式の因数分解，解と係数の関係）を復習し、予習動画を視聴しておくこと。 （2時間）
【事後学習】宿題として，フェラリの解法の演習問題を解いて，翌週に提出すること(A-4)。 （2時間）
【授業形態】対面授業
3 環と体について学ぶ(A-3,A-4)。
【事前学習】高校数学（複素数の四則演算）を復習しておくこと。 （2時間）
【事後学習】宿題として、部分体であるかどうかの判定の仕方を学び，翌週提出すること(A-4)。 （2時間）
【授業形態】対面授業
4 添加した体と最小多項式の計算方法を学ぶ(A-3,A-4)。
【事前学習】高校数学（多項式の割り算）を復習しておくこと。 （2時間）
【事後学習】宿題として，体の拡大次数の計算例を解いて，翌週に提出すること(A-4)。 （2時間）
【授業形態】対面授業
5 多項式の既約性の判定法を学ぶ(A-3,A-4)。
【事前学習】高校数学（因数定理，剰余の定理）について復習しておくこと。 （2時間）
【事後学習】宿題として，Eisensteinの既約判定法の例題を解いて，翌週に提出すること(A-4)。 （2時間）
【授業形態】対面授業
6 タワー型定理を通して，やや複雑な拡大体の次数の計算の仕方を修得する(A-3,A-4,A-5)。
【事前学習】「簡単な」体の拡大次数の計算の仕方を復習しておくこと。 （2時間）
【事後学習】タワー型定理の証明を復習し，理解して，その証明を提出すること(A-5)。 （2時間）
【授業形態】対面授業
7 群論より：対称群の計算方法について学ぶ。
【事後学習】宿題として，対称群の計算例題を解いて、翌週に提出すること(A-4)。 （2時間）
【授業形態】対面授業
8 正規部分群と正規拡大について計算方法を学ぶ。
【事後学習】宿題として，正規部分群の計算例題を解いて，翌週に提出すること(A-4)。 （2時間）
【授業形態】対面授業
9 中間試験とその解説(A-3,A-4)
【事前学習】第１~８回までの講義スライドを復習しておくこと。 （2時間）
【事後学習】解けなかった問題を友人と議論して，解きなおしをしておくこと(A-8)。 （2時間）
【授業形態】オンデマンド型授業
10 ガロアの理論１：ガロア理論の基本定理，不変部分体，根の置換とガロア群の関係について学ぶ(A-3,A-4)。
【事前学習】部分体，対称群について復習しておくこと。 （2時間）
【事後学習】宿題として，不変部分体の例題を解き，翌週に提出すること(A-4)。 （2時間）
【授業形態】対面授業
11 ガロアの理論２：第10回の続きとして、ガロア理論の基本定理，不変部分体，根の置換とガロア群の関係について学び、ガロアの基本定理の証明の概要を理解する(A-5)。
【事前学習】第10回の講義内容を整理しておくこと。 （2時間）
【事後学習】宿題として、ガロア群の例題を解き、翌週に提出すること。 （2時間）
【授業形態】対面授業
12 ３次方程式のガロア群：３次方程式の判別式を導き，そのガロア群の決定方法を学ぶ(A-3,A-4)。
【事前学習】恒等式，対称式について復習しておくこと。 （2時間）
【事後学習】宿題として，３次方程式のガロア群の計算例を解き，提出すること。 （2時間）
【授業形態】対面授業
13 いろいろなガロア群：４次方程式や円分多項式のガロア群について学ぶ(A-3,A-4,A-5)。
【事前学習】高次多項式の因数分解について復習しておくこと。 （2時間）
【事後学習】円分多項式の計算例題を解き，宿題として提出すること(A-4)。 （2時間）
【授業形態】対面授業
14 振り返り：ガロア理論は「５次方程式は一般的に代数的に解けないこと」「作図不可能の証明」に応用できることを学び，講義概要を用紙に記録する(A-5,A-8)。
【事前学習】講義ノートを読み直しておくこと。 （3時間）
【事後学習】期末試験向けの事前問題を解いてこと。 （2時間）
【授業形態】対面授業
15 期末試験とその解説：第８回以降で学んだ「ガロア群」の具体的な計算方法を修得しているかを期末試験を通して評価する(A-3, A-4, A-5)。
【事前学習】第７回以降の内容を中心にこれまでの講義全体の内容を復習しておくこと。 （2時間）
【事後学習】解けなかった問題を解きなおすこと(A-8)。 （2時間）
【授業形態】対面授業
その他
教科書 渡辺敬一，草場公邦 『代数の世界・改訂版 （すうがくぶっくす）』 朝倉書店 2012年 第1版
なし
参考書 J. ロットマン（訳：関口次郎） 『ガロア理論』 シュプリンガー・フェアラーク東京 1997年 第1版
渡辺敬一 『環と体 （講座，数学の考え方）』 朝倉書店 2012年 第1版
成績評価の方法及び基準 レポート:各回の宿題をレポートとして，提出状況と理解度を評価する。(20%)、授業内テスト:中間試験（オンデマンド）と対面での期末試験の理解度を評価する。(70%)、授業参画度:演習への参加状況を評価する。(10%)
・A-3,A-4の達成度は中間試験，期末試験の解答状況にて判定し，A-5の達成度については課題（レポート、宿題）の提出状況にて判定する。また、講義概要を記した用紙を通してA-8の達成度を確認する。
オフィスアワー 講義の際に声をかけてもらうか、Canvas LMS にメールを送ってください。
備考 必須ではないが，群論を履修していることが望ましい。

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