代数学２（含演習）

科目名	代数学２（含演習）
旧カリキュラム名	代数学２（含演習）
教員名	渡辺　敬一
単位数	3	学年	3	開講区分	文理学部（他学部生相互履修可）
科目群	数学科
学期	後期	履修区分	選択

授業テーマ	代数方程式の解法と、ガロアの理論
授業のねらい・到達目標	前期の代数学１で学んだ多項式の取り扱いや、抽象的な代数学に引き続いて、代数学の金字塔であるガロア理論を学ぶことによって、大学で学んできた様々の代数系；群、環、体、そして線形代数学、の基礎部分のまとめをおこなう。また、体とガロア理論により、数論、代数幾何などのより専門性の高い代数学の次の分野の入り口を見る。
授業の方法	講義形式を中心におこなうが、１／３程度の時間を理解を確認する為の演習にもあてる。授業内期末テスト以外に中間テストを1回程度おこない、諸君の理解を深めるようにする。
履修条件	代数学１，代数学序論1, 2 を履修していることが望ましいが絶対に必要というわけではない．様々な学年の皆さんの受講に耐ええるように、代数学２として、独立した形で授業を行います。予備知識の不足を理由に、この講義への関心が皆さんに少なくならないよう十分努力するつもりです。
事前学修・事後学修，授業計画コメント	教科書を指定しますので、それを予習復習に使い、学習してほしいとおもいます。先生との対話、仲間同士との対話が大切です。

授業計画
1	2次方程式、3次方程式の根の公式。代数方程式を根号と加減乗除で解くとは？環と体の定義
2	カルダノの公式の原理、と４次方程式についてのフェラリの解放とオイラーの記述
3	代数学２の講義で必要になる事のまとめ（１）、多項式環と単項イデアル整域
4	代数学２の講義で必要になる事のまとめ（２）、可換環とイデアル、整域、剰余環、極大イデアル、
5	体の拡大、単項拡大、代数拡大
6	最小多項式、有限次拡大、拡大次数
7	最小分解体、代数的閉体、代数的閉包
8	体の自己同形写像のなす群と固定体、正規拡大
9	分離拡大、ガロア拡大、
10	代数学２の講義で必要になる事のまとめ（３）、群の理論、正規部分群、可換群、可解群
11	ガロア群、ガロアの基本定理
12	3次4次方程式の根の公式再考、5次以上の一般方程式の非可解性
13	体と作図問題、ガロア理論を使った代数学の基本定理の証明
14	自宅課題演習
15	まとめ、補遺

その他
教科書	渡辺敬一『環と体（数学の考え方）』朝倉書店 2002年第1版体とガロア理論を学ぶ為に必要な環論の基礎、そして群論についての必要となる結果も付録に書かれていて便利な本です。
参考書	渡辺　敬一・草場　公邦『代数の世界（すうがくぶっくす 13）』朝倉書店 2012年第2版アルティン『ガロア理論入門』ちくま学芸文庫 2010年第1版藤崎源二郎『体とガロア理論（岩波基礎数学選書）』岩波書店 1991年第1版上記のうち、「代数の世界」は、群論や可換環論についても多くの具体例が書かれた豊富な内容をもった本である。が、体論の入門書としての形は、私は、教科書にあげた書籍を推薦したい。アルティンの「ガロア理論」の方法は線形代数学を全面に押し出し、今回我々が学ぶ議論とは少し違った趣きを感じるだろう。古くからこの本はわかりやすいと定評がある。藤崎氏の著書はこの講義で扱う内容よりずっと先までの体論の多くの内容が丁寧に書かれている。
成績評価の方法及び基準	平常点(10%)、レポート(10%)、授業内テスト(70%)、授業参画度(10%) テストは全部で２回を予定しています。出席をとります。演習への真剣な取り組みを授業参画度として評価します。場合によって、理解度確認の為のレポートを最終的に考えておりますが、進行具合により、テスト２回のみでレポートを行わないことがあります（その場合、上記のレポート分の比率は、全体に配分されると考えてください。）。
オフィスアワー	授業時間内に「質問をしやすい時間（複数）」をお知らせします。基本的に数学科研究室においでくだされば（空いている時間は）質問にお答えします。
備考	ガロア理論は、本当に美しい理論です。大学の数学科に入学して、これを勉強しないのは勿体ないと思います．この講義が君たちにこの学問の一端を伝えることができれば、私としては本望です。学習態度について申します．復習を丁寧にすることが重要である(理解できないことがあってもよい). 関連する参考書を各自図書館などで独習し、３年生後期在学の大学生としての自覚を持って、授業に臨んでください。