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解析学序論１（含演習）

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令和元年度以前入学者 解析学序論１（含演習）
教員名 三村与士文
単位数    3 学年    2 開講区分 文理学部
（他学部生相互履修可）
科目群 数学科
学期 前期 履修区分 選択必修
授業の形態 オンデマンド型の遠隔授業を行う。
授業概要 本講義では微分積分学１・２に続き, 解析学の基礎を学ぶ。微分積分学１・２と共通項目も多くあるが、微分積分学１・２では紹介として扱われた内容も深く探求する。特に、解析学序論１では１変数関数の解析の習熟を目指す。これは解析学序論２で扱う多変数関数の解析において非常に重要となる。
授業のねらい・到達目標 ・極限や微分および積分の定義を明確に説明することができる。
・微分や積分の計算を円滑に行うことができる。
・公式としての暗記だけでなく定理の証明などから論理的な考え方を学ぶ。
この科目は文理学部（学士（理学））のディプロマポリシー DP3, DP6 及びカリキュラムポリシー CP1, CP9 に対応しています。

なお，新カリキュラム（令和2年度以降入学者対象）では，この科目は文理学部（学士（数学））のディプロマポリシー DP3,4,5,6,8 及びカリキュラムポリシー CP3,4,5,6,8 に対応している。
・数理科学に基づいて学んだ知識をもとに、物事の本質を論理的、客観的に捉えることができる(A-3-2)。
・日常生活における現象に潜む数理科学的問題を発見し、内容を説明することができる(A-4-2)。
・与えられた問題に取り組む気持ちを持つことができる(A-5-1)。
・親しい人々とコミュニケーションを取り、自分の考えを説明することができる(A-6-2)。
・自分の学修経験の振り返りを継続的に行うことができる(A-8-1)。
授業の方法 講義形式と演習形式で行う。成績評価の要となる試験は全部で3回行う。
授業計画
1 基礎的な集合の記法と演算を学ぶ.
【事前学習】教科書第１章を読み, 開集合と閉集合などの定義を確認しておく. （2時間）
【事後学習】実数の部分集合の上界や最大値について理解しておく. （3時間）
2 関数の極限について学ぶ.
【事前学習】教科書第２章第１節を読み, 関数の定義や三角関数に関する公式を確認しておくこと. （2時間）
【事後学習】関数の極限をε-δ論法を使って表現できるようにする. （3時間）
3 連続関数について学ぶ.
【事前学習】教科書第２章第２節を読み, 連続関数の定義を確認しておく. （2時間）
【事後学習】中間値の定理や最大最小の定理を使いこなせるようにする. （3時間）
4 三角関数, 逆三角関数, 指数関数, 双曲線関数などの初等関数について学ぶ.
【事前学習】教科書第２章第３節を読み, 連続な単調関数が全単射であることを確認しておく. （2時間）
【事後学習】逆三角関数の値域と主値について理解する. （3時間）
5 授業内試験とその解説(A-3,A-4)
【事前学習】第１～第４回の内容を復習しておく. （2時間）
【事後学習】友人と積極的に議論して, 解けなかった試験問題を解き直す(A-6,A-8). （3時間）
6 微分係数について学ぶ.
【事前学習】教科書第３章第１節を読み, 微分係数の定義を確認しておく. （2時間）
【事後学習】右微分係数と左微分係数を理解し, 微分可能な関数かどうかを判断できるようにしておく. （3時間）
7 導関数について学ぶ.
【事前学習】教科書第３章第２節を読み, 微分係数と導関数の違いを理解しておく. （2時間）
【事後学習】合成関数の微分法, 逆関数の微分法, 対数微分法を使いこなせるようにする. （3時間）
8 平均値の定理について, その証明と応用を学ぶ.
【事前学習】教科書第３章第３節（pp.64-67）を読み, ロルの定理と極値との関係を理解しておく. （2時間）
【事後学習】平均値の定理を理解し, 導関数の符号と関数の単調性について理解する. （3時間）
9 テイラー展開について, その証明と応用を学ぶ.
【事前学習】教科書第３章第３節（pp.67-75）を読み, テイラー展開が多項式関数について正しいことをみておく. （2時間）
【事後学習】テイラー展開から極値が臨界点における2階微分の符号によって決まることを理解する. （3時間）
10 授業内試験とその解説(A-3,A-4)
【事前学習】第６～第９回の内容を復習しておく. （2時間）
【事後学習】友人と積極的に議論して, 解けなかった試験問題を解き直す. （3時間）
11 リーマン積分について学ぶ.
【事前学習】教科書第４章第１節を読み, リーマン積分の歴史的背景を理解しておく. （2時間）
【事後学習】リーマン積分の定義を理解し, 種々の性質がリーマン和の性質として引き継がれることを理解する. （3時間）
12 置換積分や部分積分などの積分技法について学ぶ.
【事前学習】合成関数の微分法と積の微分法について復習しておく. （2時間）
【事後学習】合成関数の微分法と積の微分法から置換積分や部分積分の公式を導けるようにしておく. （3時間）
13 有理関数に対する部分分数分解と有理関数の積分について学ぶ.
【事前学習】部分分数分解について復習しておく. （2時間）
【事後学習】有理関数の不定積分が, 部分分数分解によって対数関数, べき関数, 逆正接関数の和で書けることを理解する. （3時間）
14 広義積分について学ぶ(A-5).
【事前学習】リーマン積分の定義を復習しておく. （2時間）
【事後学習】広義積分がリーマン積分の自然な拡張であることを理解する. （3時間）
15 まとめ（これまでの復習と解説を行い, 講義内容の理解を深める）(A-8)
【事前学習】第１１～第１４回の内容を復習しておく。 （2時間）
【事後学習】友人と積極的に議論して, 解けなかった試験問題を解き直す(A-6,A-8). （3時間）
その他
教科書 高坂良史, 高橋雅朋, 加藤正和, 黒木場正城 『微分積分 増補版』 学術図書出版社 2018年 第　増補版
参考書 溝端茂 『数学解析 上 （数理解析シリーズ1）』 朝倉書店
笠原晧司 『微分積分学 （サイエンスライブラリー数学）』 サイエンス社
成績評価の方法及び基準 授業内テスト:遠隔による実施も考慮し、場合によっては告知の上、レポートで置き換える可能性がある。(90%)、授業参画度:オンデマンド教材の視聴状況とクイズの回答状況を評価する。(10%)
A-3,A-4の達成度については授業内試験の答案を通して評価する。
A-5については発展的内容への取り組みの姿勢で評価する。
A-6については試験問題の解きなおしにおける友人達との議論の様子を見て評価する。
A-8についてはノートの整理状況を通して評価する。
オフィスアワー 水曜日3限（研究室にて）

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