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微分方程式論１

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令和元年度以前入学者 微分方程式論１
教員名 加藤伸幸
単位数    2 学年    3 開講区分 文理学部
（他学部生相互履修可）
科目群 数学科
学期 前期 履修区分 選択必修
授業の形態 課題研究(Blackboardを通じた学習資料配信)12回とオンデマンド授業3回の組み合わせ．
授業概要 未知関数（陰関数を含む）とその導関数の間に成り立つ方程式を微分方程式といい，特に1変数関数が満たす微分方程式を「常」微分方程式と言う．導関数が含まれている点からも，単なる式変形だけでなく，方程式全体を積分することが要求されるため，2年次までに学習した微積分学の学習内容が必要となる．
本科目では，2階までの導関数を含む微分方程式を構造別に取り上げ，その解法を修得する．
提出されたレポート課題は採点して返却する．
授業のねらい・到達目標 ・1階導関数を含む微分方程式について，微分積分学（2変数関数を含む）の学習内容を用いて解を求めることができる．
・2階までの導関数を含む微分方程式のうち，定数が係数であり，かつ独立変数を含まない方程式を簡易な手法で解くことができる．
・2階までの導関数を含み，独立変数を係数に持つ微分方程式のうち，簡易な手法で解けるものを解くことができる．
この科目は文理学部（学士（理学））のディプロマポリシー DP3, DP6 及びカリキュラムポリシー CP1, CP9 に対応している．

なお、新カリキュラム（令和２年度以降の入学者）では，この科目は文理学部（学士（数学））のディプロマポリシー DP3,4,5,8 及びカリキュラムポリシー CP3,4,5,8に対応している．
・自らが獲得してきた数理科学的知識を基礎とし，その上で既存の知識にとらわれることなく，数理科学的根拠に基づいて論理的に考察することができる(A-3-3)．
・日常生活における現象に潜む科学的問題を発見し，専門的知識に基づいて解決案を作成できる(A-4-3)．
・新しい問題に取り組む意識を持ち，そのために必要な情報を収集することができる(A-5-2)．
・自分の学修経験の振り返りを継続的に行うことができる(A-8-1)。
授業の方法 課題研究：講義日にBlackboardに配付される講義資料（PDFファイル形式）を読み，Blackboard掲示板上で質疑応答（学生間で行ってもよい），意見交換（学生間も含む）を行う．
レポート：原則として各回，講義資料に添付されたレポート課題（講義内容に即した演習問題，次回の講義に必要な発想でこれまでの学習内容から抜粋）を所定の方法で提出（期限は次回の講師資料が配付されるまで）する．教職関係や体調不良等でレポート課題の提出が間に合わない場合はその証拠と併せて提出してよい（従って，課題の解答は公開せず，学生個々にフィードバックする）．
授業内試験：実施日を告知した上で，当日に試験問題を配信する．答案は手書きで作成し，スキャンして投稿されたPDFファイルのみ有効とする．
レポート，授業内試験は理由の如何に関係なく免除しない．
履修条件 なし
授業計画
1 課題研究：微分方程式とは何かを，簡単な例を挙げながら説明し，用語や記号類を取り上げる(A-4, A-5)．
【事前学習】シラバスの内容を理解する． （1時間）
【事後学習】絶対値付きの等式の同値変形，指数・対数法則，および1年次までに学習した不定積分を復習しておく． （3時間）
2 課題研究：「変数分離形」に分類される微分方程式の解を求める(A-4, A-5)．
【事前学習】第1回で課されたレポート課題の内容理解と，分数式の変形および積分の計算練習をする． （1時間）
【事後学習】例題を解き直し，練習問題で計算練習し，レポート課題に取り組み． （3時間）
3 課題研究：「同次形」に分類される微分方程式の解を求める(A-5)．
【事前学習】変数分離形微分方程式の解法を復習する． （1時間）
【事後学習】例題を解き直し，練習問題で計算練習し，レポート課題に取り組む． （3時間）
4 課題研究：「1階線形微分方程式」の解を求める(A-4, A-5)．
【事前学習】変数分離形微分方程式の解法を復習する． （1時間）
【事後学習】例題を解き直し，練習問題で計算練習する． （2時間）
5 オンデマンド授業（第1回～第4回配付資料のみ参照可）：第1回中間試験とその解説(A-3, A-4)
【事前学習】試験範囲である第1回～第4回講義内容を復習する． （5時間）
【事後学習】解答できなかった問題の内容について復習する． （1時間）
6 課題研究：「Bernoulli形」に分類される微分方程式の解を求める(A-5)．
【事前学習】1階線形微分方程式の解法を復習する． （1時間）
【事後学習】例題を解き直し，練習問題で計算練習し，レポート課題に取り組む． （3時間）
7 課題研究：「完全微分方程式」に分類される微分方程式の解を求める(A-4, A-5)．
【事前学習】2変数関数の偏微分と全微分について復習する． （1時間）
【事後学習】例題を解き直し，練習問題で計算練習し，レポート課題に取り組む． （3時間）
8 課題研究：「2階定数係数線形微分方程式」について，「論理的な解法」を取り上げる一方，方程式の構造に着目して「一般解の構造とそれを成す基底の1次独立性」を議論する(A-3, A-5)．
【事前学習】1階線形微分方程式，ベクトルの1次独立性，行列式の計算，2次方程式の解について復習する． （2時間）
【事後学習】論理的な解法について，その具体例をレポート課題として解く． （2時間）
9 課題研究：「2階定数係数線形微分方程式」のうち，「斉次形」に分類される方程式の解を求める(A-3)．
【事前学習】斉次系方程式の一般解の構造を整理する． （1時間）
【事後学習】例題を解き直し，練習問題で計算練習し，レポート課題に取り組む． （3時間）
10 オンデマンド授業（第6回～第9回配布資料のみ閲覧可）：第2回中間試験とその解説(A-3)
【事前学習】試験範囲である第6回～第9回講義内容を復習する． （4時間）
【事後学習】解答できなかった問題の内容について復習する(A-8)． （1時間）
11 課題研究：「2階定数係数線形微分方程式」のうち，「非斉次形」に分類される方程式の一般解の構造を学び，「非斉次項が多項式」の時の「特殊解」を求める(A-3, A-5)．
【事前学習】恒等式と未定係数法について復習する． （1時間）
【事後学習】例題を解き直し，練習問題で計算練習し，レポート課題に取り組む． （3時間）
12 課題研究：「非斉次形」に分類される「2階定数係数線形微分方程式」のうち，「非斉次項が指数関数／三角関数」の場合の「特殊解」を求める(A-5)．
[事後学習] 例題として扱った問題を解き直し，練習問題で計算練習する．
【事前学習】斉次形方程式の一般解，Leibnizの公式，および恒等式と未定係数法について復習する． （1時間）
【事後学習】例題を解き直し，練習問題で計算練習し，レポート課題に取り組む． （3時間）
13 課題研究：「変数係数」の2階線形微分方程式のうち，「Cauchy-Euler方程式」の解を求める(A-5)．
【事前学習】合成関数の微分(2階まで)と，2階定数係数線形微分方程式の解法を復習する． （1時間）
【事後学習】例題を解き直し，練習問題で計算練習する． （2時間）
14 オンデマンド授業（第11回～第13回配付資料のみ閲覧可）：期末試験とその解説(A-3)
【事前学習】試験範囲である第10回～第13回講義内容を復習する． （5時間）
【事後学習】解答できなかった問題の内容について復習する． （1時間）
15 課題研究：本科目で取り上げなかった微分方程式を紹介する．
【事前学習】これまでの講義内容を復習しておく(A-8)． （1時間）
【事後学習】後期科目「微分方程式論2」に向けて，講義全体の内容を整理する(A-8)． （1時間）
その他
教科書 使用しない. 必要に応じてプリントを配布し，Blackboard上にも掲載する．
参考書 森真 『自然現象から学ぶ微分方程式』 共立出版 2016年 第1版
常微分方程式に関する入門書は数多く出版されています. 図書館などで拾い読みしてみて, 各自の肌に合った一冊を手元に持っておくといいでしょう.
成績評価の方法及び基準 レポート(30%)、授業内テスト(70%)
レポート：原則として，各回の講義資料に添付されているレポート課題を所定の方法で提出することで成績を付ける．
授業内試験：2回の中間試験，および期末試験で成績を付ける．
A-3,A-4の達成度については答案を通して評価する。A-5については各回の取り組みの姿勢で評価する。
A-8についてはノートの整理状況を通して評価する。
オフィスアワー Blackboard上にて，授業回数別に掲示板を設定する．

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