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複素解析学２（含演習）

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令和元年度以前入学者 複素解析学２（含演習）
教員名 加藤伸幸
単位数    3 学年    3 開講区分 文理学部
科目群 数学科
学期 後期 履修区分 選択
授業の形態 対面授業
BlackboardのコースID:20224358
2022複素解析学２（含演習）（加藤伸幸・後・月２,３）
授業概要 前期科目「複素解析学1」の続きとして, 複素関数(複素数から複素数への対応)の微分・積分を学習する. 実際に計算するのはもちろん, その経験から見いだされる諸結果を発掘し, 利用することで直接行えなかった種々の計算が可能になる.
授業のねらい・到達目標 <授業のねらい>
Cauchyの積分定理から導かれる種々の計算結果を理解し, 具体的な問題へ適用できる.

<到達目標>
・Cauchyの積分定理/積分公式を用いた複素積分の計算を効率的に行える.
・有理型関数をある1点のまわりでべき級数に展開して, 中心点を分類できる.
・複素積分を和に書き換えて計算できる.
・実関数の広義積分へ応用できる.

＜ディプロマポリシーとの関係＞
この科目は文理学部（学士（理学））のディプロマポリシー DP3,DP6 及びカリキュラムポリシー CP1,CP9に対応しています。
なお, この科目は, 新カリキュラム（令和２年度以降入学者が対象）においては，文理学部（学士（数学））のディプロマポリシー DP3,4,5,8 及びカリキュラムポリシー CP3,4,5,8に対応しています。

<日本大学教育憲章との関係>
・自らが獲得してきた数学的知識を基礎とし, その上で既存の知識にとらわれることなく, 数理科学的根拠に基づいて論理的に考察することができる(A-3-3).
・日常生活における現象に潜む科学的問題を発見し, 専門的知識に基づいて解決案を作成できる(A-4-3).
・新しい問題に取り組む意識を持ち, そのために必要な情報を収集することができる(A-5-2).
・自分の学修経験の振り返りを継続的に行うことができる(A-8-1).
授業の方法 授業の形式：【講義，演習】
(1) 2限目は指定教科書の内容に沿った講義を行い, 3限目に教科書の問題を中心として演習を行う. 可能ならば黒板で発表させる. 残った問題は事後学習の時間に可能な限り消化する(翌週以降に発表してもよい). 必要に応じて演習プリントをBlackboard上に配信するので, 特に授業内試験対策に活用されたい.
(2) 到達度確認のための授業内試験(2回)を対面で行う.

※ 対面での受講が困難な場合, Zoomにて参加することができます. 該当期間・事由を連絡すること. その場合, 期限内にリアクションペーパーを提出. ただし, 期間外/不当な事由では無効となる.
授業計画
1 複素積分
【事前学習】実関数の線積分 （2時間）
【事後学習】複素積分の計算練習 （3時間）
2 Cauchyの積分定理
【事前学習】実関数でのGauss-Greenの定理を復習する. （2時間）
【事後学習】Cauchyの積分定理の仮定と結論を細かく捉える （3時間）
3 Cauchyの積分公式
【事前学習】Cauchyの積分定理を復習する. （2時間）
【事後学習】Cauchyの積分定理との内容の違いを捉える. （3時間）
4 Cauchyの積分公式の逆
【事前学習】Cauchyの積分公式の仮定と結論を整理する. （2時間）
【事後学習】正則な複素関数の積分表示を用いた計算を行う. （3時間）
5 正則な複素関数のTaylor展開
【事前学習】1変数実関数のTaylor展開を復習する. （2時間）
【事後学習】不定形の極限へ適用できるか検討する. （3時間）
6 一致の定理
【事前学習】正則な複素関数のTaylor展開を復習する. （2時間）
【事後学習】複素関数の正則性から得られた諸性質を整理する. （3時間）
7 第1回授業内試験とその解説(A-3, A-4)
【事前学習】試験範囲である第1～6回講義内容を復習する. （4時間）
【事後学習】解答できなかった問題を解き直す(A-8). （1時間）
8 正則な複素関数のLaurant展開
【事前学習】無限等比級数について復習する. （2時間）
【事後学習】Taylor展開との構造的な違いを捉える. （3時間）
9 孤立特異点の分類
【事前学習】複素関数の極とその位数について復習する. （2時間）
【事後学習】Laurant展開と極の位数を紐付ける. （3時間）
10 留数定理(1): 留数の定義と計算
【事前学習】極とその位数, Laurant展開について復習する. （2時間）
【事後学習】種々の方法で留数を計算する. （3時間）
11 留数定理(2): 証明と複素積分への適用
【事前学習】留数の計算方法を復習する. （2時間）
【事後学習】これまでの複素積分のうち, 留数定理を適用できるものについて実際に適用する. （3時間）
12 留数定理(3): 三角関数の有理関数の広義積分への応用 (A-5)
【事前学習】留数定理の主張の確認, 複素平面上における実数の位置の確認. （2時間）
【事後学習】留数定理を介した広義積分の計算練習. （3時間）
13 留数定理(4): 実有理関数の広義積分への応用 (A-5)
【事前学習】留数定理の主張の確認, 複素平面上における実数の位置の確認. （2時間）
【事後学習】留数定理を介した広義積分の計算練習 （3時間）
14 第2回授業内試験とその解説 (A-3, A-4)
【事前学習】試験範囲である第8～第13回講義内容を復習する. （4時間）
【事後学習】解答できなかった問題を解き直す(A-8). （1時間）
15 まとめと補足
【事前学習】試験問題を中心に, 本科目の学習内容を全般的に振り返る(A-8). （3時間）
【事後学習】「解析接続」について調べる. （2時間）
その他
教科書 今吉洋一 『複素関数概説 （数学基礎コース=O3）』 サイエンス社 2020年 第22版
前期科目「複素解析学1（含演習）」で使用されているものと同一です．
参考書 なし
成績評価の方法及び基準 授業内テスト:2回行い, 総合的評価する(70%)、授業参画度:演習中の発表の積極性により評価する(30%)
遠隔参加者の「授業内テスト」については別途相談致します。
A-3, A-4の達成度は授業内試験の答案で評価する. A-5は演習への取り組み姿勢で評価する.
オフィスアワー 月曜3限の演習中の教室, 水曜3限 本館5F 非常勤講師オフィスアワー室, またはBlackboard内の掲示板フォーラム「第x回 質問箱」にて(x=1～13)

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