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ガロア理論

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令和２年度以降入学者 ガロア理論
教員名 吉田健一
単位数    2 学年    3 開講区分 文理学部
科目群 数学科
学期 前期 履修区分 選択
授業の形態 対面授業(一部 Zoom によるライブ中継あり）
Blackboard のコースID:20221383
2022ガロア理論（吉田健一・前・火２）
授業概要 ガロア理論を通じて，多項式の計算に習熟し，代数系（群・環・体）の理論の理解を深める。
授業のねらい・到達目標 ＜授業のねらい＞
この授業を通して，多項式からなる代数的構造の基礎理論を身に着ける。

＜到達目標＞
・群・環の基本概念を説明できる。
・３次・４次方程式のガロア群を求めることができる。

＜ディプロマポリシーとの関係＞
この科目は文理学部（学士（数学））のディプロマポリシー DP3,4,5,6,8 及びカリキュラムポリシー CP3,4,5,6,8に対応しています。

＜日本大学教育憲章との関係＞
・物事を既存の知識にとらわれることなく，科学的根拠に基づいて論理的・批判的に考察し，説明することができる(A-3-3)。
・日常生活における現象に潜む科学的問題を発見し，専門的知識に基づいて解決案を作成できる(A-4-3)。
・新しい問題に取り組む意識を持ち、そのために必要な情報を収集することができる(A-5-2)。
・自分の学修経験の振り返りを継続的に行うことができる(A-8-1)。
授業の方法 授業の形式：【講義】
・Blackboard を通して, 事前学習用に配信された動画を視聴しておく。
・講義は対面での参加が基本である。体調が悪い場合などは Zoom により参加することができる（登録された者以外は遅刻扱い）。
・講義の際には、Blackboard を通して配布されたスライド教材(主にpdf ファイル)をレジメとして使用することができる。
・各回毎に宿題（約1ページ）を提出する(提出日を記録しておくことが望ましい)。
締め切り（原則として翌週まで）は担当教員により指示されるが，経過後は「遅延」として取り扱われる。
・宿題は原則として翌週の講義の際に提出するが、Blackboard を用いて提出することもできる。
また，宿題は友人と議論して理解を深めた上で提出して構わない。
・課題は pdf ファイル形式（写真も可）が望ましい。ファイル内に【学籍番号，氏名，問題番号】を明記するのを忘れずに！
・課題のフィードバックは全体向けの解答を配信するとともに，簡単なチェックをして【One Drive のファイル共有】で本人に返却する。
＜試験＞
・オンデマンド試験１回と対面での試験を行う予定であるが，参加できない者向けには（補講の形で）オンデマンド試験を行う。
履修条件 新カリキュラム（令和2年度以降の入学者）向けの科目です。令和元年度以前の入学者は「代数学２」（２コマ）を受講して下さい。
授業計画
1 ガロア理論の背景説明，３次方程式のカルダノの解法を学ぶ(A-3,A-4)。【対面授業】
【事前学習】シラバスを確認し，ガロアについて調べてくること(A-5)。また、予習動画を視聴しておくこと。。 （２時間）
【事後学習】宿題として、カルダノの解法の演習問題を解いて翌週に提出すること(A-4)。 （２時間）
2 ４次方程式のフェラリの解法を学ぶ(A-3,A-4)。【対面授業】
【事前学習】高校で学んだ３次以下の多項式の因数分解，解と係数の関係を復習し、予習動画を視聴しておくこと。 （２時間）
【事後学習】宿題として，フェラリの解法の演習問題を学修し，翌週に提出すること(A-4)。 （２時間）
3 環と体について学ぶ(A-3,A-4)。【対面授業】
【事前学習】予習動画を視聴しておくこと。 （２時間）
【事後学習】宿題として、部分体であるかどうかの判定の仕方を学び，翌週提出すること(A-4)。 （２時間）
4 添加した体と最小多項式の計算方法を学ぶ(A-3,A-4)。【対面授業】
【事前学習】予習動画を視聴しておくこと。 （２時間）
【事後学習】宿題として，体の拡大次数の計算例を解き，翌週に提出すること(A-4)。 （２時間）
5 多項式の既約性の判定法を学ぶ(A-3,A-4)。【対面授業】
【事前学習】高校で学んだ４次以上の多項式の割り算について復習し、予習動画を視聴しておくこと。 （２時間）
【事後学習】宿題として，Eisensteinの既約判定法の例題を解いて，翌週に提出すること(A-4)。 （２時間）
6 タワー型定理を通して，やや複雑な拡大体の次数の計算の仕方を修得する(A-3,A-4,A-5)。【対面授業】
【事前学習】「簡単な」体の拡大次数の計算の仕方を復習し、予習動画を視聴しておくこと。 （２時間）
【事後学習】タワー型定理の証明を復習し，理解して，その証明を提出すること(A-5)。 （２時間）
7 オンデマンド中間試験とその解説：第6回までに学んだ，４次以下の方程式の解法と，有限次代数拡大の次数の計算の仕方をどれくらい理解しているかを，オンデマンド型試験として評価する(A-3, A-4, A-5)。【オンデマンド型】
【事前学習】第１~６回までの講義スライドを復習しておくこと。 （３時間）
【事後学習】解説を聞き，できなかった問題を解きなおすこと(A-8)。 （２時間）
8 群論より：対称群の計算方法について学修する。【対面授業】
【事前学習】予習動画を視聴しておくこと。 （２時間）
【事後学習】宿題として，対称群の計算例題を解いて、翌週に提出すること(A-4)。 （２時間）
9 正規部分群と正規拡大について計算方法を学ぶ。【対面授業】
【事前学習】第８回の講義内容をよく読んでおくこと。 （２時間）
【事後学習】宿題として，正規部分群の計算例題を解いて，翌週に提出すること(A-4)。 （２時間）
10 ガロアの理論１：ガロア理論の基本定理，不変部分体，根の置換とガロア群の関係について学ぶ(A-3,A-4)。【対面授業】
【事前学習】部分体，対称群について復習しておくこと。 （２時間）
【事後学習】宿題として，不変部分体の例題を解き，翌週に提出すること(A-4)。 （２時間）
11 ガロアの理論２：第10回の続きとして、ガロア理論の基本定理，不変部分体，根の置換とガロア群の関係について学び、ガロアの基本定理の証明の概要を理解する(A-5)。【対面授業】
【事前学習】予習動画を視聴しておくこと。 （２時間）
【事後学習】宿題として、不変部分体の例題を解き、翌週に提出すること。 （２時間）
12 ３次方程式のガロア群：３次方程式の判別式を導き，そのガロア群の決定方法を学ぶ。【対面授業】
【事前学習】恒等式，対称式について復習しておくこと。 （２時間）
【事後学習】宿題として，３次方程式のガロア群の計算例を解き，提出すること。 （２時間）
13 いろいろなガロア群：４次方程式や円分多項式のガロア群について学ぶ(A-3,A-4,A-5)。【対面授業】
【事前学習】高次多項式の因数分解について復習しておくこと。 （２時間）
【事後学習】円分多項式の計算例題を解き，宿題として提出すること(A-4)。 （２時間）
14 期末試験とその解説：第８回以降で学んだ「ガロア群」の具体的な計算方法を修得しているかを期末試験を通して評価する(A-3, A-4, A-5)。【対面授業】
【事前学習】第７回以降の内容を中心にこれまでの講義全体の内容を復習しておくこと。 （３時間）
【事後学習】解けなかった問題を解きなおすこと(A-8)。 （２時間）
15 振り返り：講義の振り返り(A-8)と、５次方程式が代数的に解くことができないことを例をもって理解する。【Zoom による同時双方向型授業】
【事前学習】講義全般について，ノートを見直しておくこと(A-8)。 （２時間）
【事後学習】第15回動議を視聴すること(A-8)。 （２時間）
その他
教科書 渡辺敬一，草場公邦 『代数の世界・改訂版 （すうがくぶっくす）』 朝倉書店 2012年 第1版
なし
参考書 J. ロットマン（訳：関口次郎） 『ガロア理論』 シュプリンガー・フェアラーク東京 1997年 第1版
渡辺敬一 『環と体 （講座，数学の考え方）』 朝倉書店 2012年 第1版
成績評価の方法及び基準 レポート:各回の宿題をレポートとして評価する。(30%)、授業内テスト:中間試験（オンデマンド）と対面での期末試験を行う。(40%)、授業参画度:演習への参加状況と自己点検シートを評価する。(30%)
期末試験（対面）で参加できない場合は、オンデマンド試験で評価する。
・A-3,A-4の達成度は中間試験，期末試験の解答状況にて判定し，A-5の達成度については課題（レポート、宿題）の提出状況にて判定する。また、A-6の達成度についてはBbでの質問と議論の参加状況にて判定し，自己点検シートを通してA-8の達成度を確認する。
オフィスアワー 講義の際に声をかけて頂くか、Blackboard にメールを送ってもらうことで、お約束できます。
備考 履修登録以外にも、Blackboard にも必ず登録して下さい。
宿題などの提出の際に，問題番号や氏名を忘れる人が多いと手間がかかり，返却に支障が出ます。忘れずに明記して下さい。

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