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環論

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令和２年度以降入学者 環論
教員名 吉田健一
単位数    2 学年 3･4 開講区分 文理学部
科目群 数学科
学期 後期 履修区分 選択
授業形態 対面授業（一部遠隔授業）
Blackboard ID 20234321
授業概要 抽象的な代数学の基礎として, 環とイデアルの基礎概念を修得する.
整数全体を「環」とみなすことにより, 代数学序論１で学んだ概念を「環論」の視点から理解を深める.
授業のねらい・到達目標 ＜授業のねらい＞
代数学の難しさはその抽象性とその議論の厳密さにあるが, それゆえに他の分野でも欠かせない「道具」になりうる.
・代数系の基礎概念の理解を通して, 抽象的な議論を身に付ける.
・環とイデアルの概念を修得することにより, 整数の持つ性質を証明できるスキルを身に付ける.

＜到達目標＞
・代数系の基礎概念の学修を通して、代数系の基本的な定義を説明できる。
・ユークリッドの互除法を通して、不定方程式を解くことができる。
・整数環のイデアル論を通して、素因数分解の一意性などの整数の基本的な性質を説明できる。

＜ディプロマポリシーとの関係＞
この科目は文理学部（学士（理学））のディプロマポリシー DP3,4,5,8 及びカリキュラムポリシー CP3,4,5,8に対応しています。

＜日本大学教育憲章との関係＞
・自らが獲得してきた数理科学的知識を基礎とし、その上で既存の知識にとらわれることなく、数理科学的根拠に基づいて論理的に考察することができる(A-3-3)。
・日常生活における現象に潜む数理科学的問題を発見し、専門的知識に基づいて解決案を作成できる(A-4-3)。
・新しい問題に取り組む意識を持ち、そのために必要な情報を収集することができる(A-5-2)。
・自分の学修経験の振り返りを継続的に行うことができる(A-8-1)
授業の形式 講義、演習
授業の方法 ①講義開始前にスライドをBbで配信します。
※スライドは履修者本人がダウンロードすること。動画は視聴だけ可能である。
②基本的に対面で講義を行う。コロナ等で参加できない学生が多い場合はZoom による配信を行う場合もあります。
③各回の講義資料（配信教材の最後）につけられた宿題を解き, 指定された期日までに解いて提出する.
宿題は友人と議論して理解を深めた上で提出してよい.
④宿題の解答例はおおむね返却時に配布することでフィードバックするので、解答の仕方の参考にすること。
⑤Blackboard のメールを通して, 質問の機会を設ける. 受講生間のやり取りは対面授業内にて行ってもらう.
⑥到達度を確認するために，オンデマンド試験と対面試験をそれぞれ１回ずつ行う。
授業計画
1 ガイダンス，環と体：代数系の基礎：群・環・体とは何かを学ぶ。
【事前学習】シラバスを確認し, 代数学序論１を履修した者はそのノートを読んでおくこと. （2時間）
【事後学習】第１回宿題を通して, 代数系の基礎概念を修得したかを確かめる. （3時間）
【授業形態】対面授業
2 多項式環：環の代表例として, 多項式環の構造を理解する。
【事前学習】第１回講義内容の復習, 事前配布スライドを読み, 環の定義をよく理解しておくこと. （2時間）
【事後学習】第２回宿題を通して, 多項式環の基礎的性質を理解する. （3時間）
【授業形態】対面授業
3 剰余環：環の代表例として、整数の剰余環の演算(和・差・積)を理解する.
【事前学習】第１回の講義スライドと事前配信のスライドをチェックし, 環について良く理解しておくこと. （2時間）
【事後学習】第３回宿題を通して, 剰余環の演算、体と整域の定義を理解する。 （3時間）
【授業形態】対面授業
4 環とイデアル：イデアルの基礎概念を学ぶ.
【事前学習】基礎ゼミの教科書と事前配信スライドを読み, 同値関係について復習しておくこと. （2時間）
【事後学習】第４回宿題を通して, イデアルの種々の演算を修得すること. （3時間）
【授業形態】対面授業
5 代数系の基礎知識（第１～４回までの内容）に関するオンデマンド試験とその解説(A-3,A-4,A-5)
【事前学習】第１～４回の講義内容を良く復習しておくこと. （2時間）
【事後学習】担当教員から提示された解答例を良く学修し, 理解に努めること（A-8). （3時間）
【授業形態】オンデマンド型授業
6 ユークリッドの互除法：「ユークリッドの互除法」を通して、最大公約元の求め方を学修する。
【事前学習】代数学序論１で学んだユークリッドの互除法を復習し, 事前配信スライドに目を通しておくこと. （2時間）
【事後学習】第６回宿題を通して, ユークリッドの互除法を深く理解すること. （3時間）
【授業形態】対面授業
7 合同方程式：合同方程式の一般的な解法を学び，整数環が単項イデアル整域（PID)であることを理解する。
【事前学習】これまでの講義内容を通して, イデアルについて復習しておくこと. （2時間）
【事後学習】第７回宿題を通して, 合同方程式が解けるように練習する. （3時間）
【授業形態】対面授業
8 整数環のイデアル：整数環のイデアルの演算を通して、イデアルの計算方法を習得する。
【事前学習】第４回の環とイデアルを復習しておく。 （2時間）
【事後学習】整数環のイデアルの計算方法を習得する。 （3時間）
【授業形態】対面授業
9 まとめ１：整数環のイデアル、合同方程式について復習する(A-8)。
【事前学習】第７・８回の講義内容について復習しておくこと. （2時間）
【事後学習】第９回宿題を通して, オイラー函数の値や余りの計算方法を習得する （3時間）
【授業形態】対面授業
10 中国の剰余定理：中国の剰余定理を通して、アルチン環の構造を理解する。
【事前学習】整数についての性質,を復習しておくこと. （2時間）
【事後学習】第10回宿題を通して、百五問題の類題の解法を身に着ける。 （3時間）
【授業形態】対面授業
11 オイラー函数とフェルマーの小定理：オイラー函数の公式を用いて、オイラー函数を計算する。
【事前学習】第10回（中国の剰余定理）の証明を復習しておく。 （2時間）
【事後学習】第11回宿題を通して, オイラー函数の値や剰余の求め方について学ぶ. （3時間）
【授業形態】対面授業
12 体と逆元：逆元の求め方をいくつかの視点から学修する。
【事前学習】「環と体」及び「剰余環」について復習しておくこと. （2時間）
【事後学習】第12回宿題を通して, Ｃの部分体の逆元の計算方法を学ぶ. （3時間）
【授業形態】対面授業
13 環の準同型定理：環の準同型定理を通して、環としての同型の意味を理解する。
【事前学習】環とイデアルについて復習しておくこと. （2時間）
【事後学習】第13回宿題を通して、環の準同型の核の計算の仕方を学修する。 （3時間）
【授業形態】対面授業
14 まとめ２：「中国の剰余定理、オイラー函数」を中心にこれまでの内容を復習し，講義内容の理解を深める(A-8)
【事前学習】代数学１で学修した内容を整理しておくこと. （2時間）
【事後学習】代数系，整数環，合同方程式それぞれについてまとめ，ノート作成の準備をする(A-8). （3時間）
【授業形態】対面授業
15 期末試験とその解説(A-8)
【事前学習】この講義で学修した内容全般を整理しておくこと. （2時間）
【事後学習】環論と初等整数論で学修した内容を比較して，理解を深めること. （3時間）
【授業形態】対面授業
その他
教科書 スライド資料を配信します.
参考書 渡辺敬一，草場公邦 『『代数の世界・改訂版 （すうがくぶっくす）』』 朝倉書店 2012年 第1版
成績評価の方法及び基準 授業内テスト(60%)、授業参画度(40%)
２回の授業内テスト（オンデマンド試験と対面試験各１ずつ）では，その正確さ, 議論の丁寧さ, 発展的な内容に対するアプローチを評価する。また、同様に (A-3, A-4, A-5)の達成度を評価する.
授業参画度は，演習への参加状況と宿題を評価する. また, その取り組みの姿勢も含めて(A-3,A-4)の達成度も評価する。
まとめを通して、(A-8)の達成度を評価する。
オフィスアワー ライン, Blackboard を通して随時質問しても構いません。講義終了後に質問してくれてもOKです。
備考 ・「初等整数論」または「代数学序論１」を履修していることが望ましい.

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