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代数学１（含演習）
| 令和元年度以前入学者 | 代数学１（含演習） | ||||
|---|---|---|---|---|---|
| 令和元年度以前入学者 | 環論 | ||||
| 教員名 | 吉田健一 | ||||
| 単位数 | 3 | 学年 | 3･4 | 開講区分 | 文理学部 |
| 科目群 | 数学科 | ||||
| 学期 | 後期 | 履修区分 | 選択 | ||
| 授業形態 | 対面授業（一部遠隔授業） |
|---|---|
| 授業概要 | 抽象的な代数学の基礎として, 環とイデアルの基礎概念を修得する. 整数全体を「環」とみなすことにより, 代数学序論１で学んだ概念を「環論」の視点から理解を深める. |
| 授業のねらい・到達目標 | ＜授業のねらい＞ 代数学の難しさはその抽象性とその議論の厳密さにあるが, それゆえに他の分野でも欠かせない「道具」になりうる. ・代数系の基礎概念の理解を通して, 抽象的な議論を身に付ける. ・環とイデアルの概念を修得することにより, 整数の持つ性質を証明できるスキルを身に付ける. ＜到達目標＞ ・代数系の基礎概念の学修を通して、代数系の基本的な定義を説明できる。 ・ユークリッドの互除法を通して、不定方程式を解くことができる。 ・整数環のイデアル論を通して、素因数分解の一意性などの整数の基本的な性質を説明できる。 ＜ディプロマポリシーとの関係＞ この科目は文理学部（学士（理学））のディプロマポリシー DP3,DP6 及びカリキュラムポリシー CP1,CP9に対応しています。 ＜日本大学教育憲章との関係＞ ・自らが獲得してきた数理科学的知識を基礎とし、その上で既存の知識にとらわれることなく、数理科学的根拠に基づいて論理的に考察することができる(A-3-3)。 ・日常生活における現象に潜む数理科学的問題を発見し、専門的知識に基づいて解決案を作成できる(A-4-3)。 ・新しい問題に取り組む意識を持ち、そのために必要な情報を収集することができる(A-5-2)。 ・自分の学修経験の振り返りを継続的に行うことができる(A-8-1) |
| 授業の形式 | 講義、演習 |
| 授業の方法 | ①講義開始前にスライドをBbで配信します。 ※スライドは履修者本人がダウンロードすること。動画は視聴だけ可能である。 ②基本的に対面で講義を行う。コロナ等で参加できない学生が多い場合はZoom による配信を行う場合もあります。 ③各回の講義資料（配信教材の最後）につけられた宿題を解き, 指定された期日までに解いて提出する. 宿題は友人と議論して理解を深めた上で提出してよい. ④宿題の解答例はおおむね返却時に配布することでフィードバックされるので、解答の仕方の参考にすること。 ⑤Blackboard のメールを通して, 質問の機会を設ける. 受講生間のやり取りは対面授業内にて行ってもらう. ⑥到達度を確認するために，オンデマンド試験と対面試験をそれぞれ１回ずつ行う。 ⑦2コマ目は演習を行う。 |
| 履修条件 | 2019年度以前の入学者は金6の演習も受講する必要があります。 |
| 授業計画 | |
|---|---|
| 1 |
ガイダンス，環と体：代数系の基礎：群・環・体とは何かを学ぶ。
【事前学習】シラバスを確認し, 代数学序論１を履修した者はそのノートを読んでおくこと. （2時間） 【事後学習】第１回宿題を通して, 代数系の基礎概念を修得したかを確かめる. （3時間） 【授業形態】対面授業 |
| 2 |
多項式環：環の代表例として, 多項式環の構造を理解する。
【事前学習】第１回講義内容の復習, 事前配布スライドを読み, 環の定義をよく理解しておくこと. （2時間） 【事後学習】第２回宿題を通して, 多項式環の基礎的性質を理解する. （3時間） 【授業形態】対面授業 |
| 3 |
剰余環：環の代表例として、整数の剰余環の演算(和・差・積)を理解する.
【事前学習】第１回の講義スライドと事前配信のスライドをチェックし, 環について良く理解しておくこと. （2時間） 【事後学習】第３回宿題を通して, 剰余環の演算、体と整域の定義を理解する。 （3時間） 【授業形態】対面授業 |
| 4 |
環とイデアル：イデアルの基礎概念を学ぶ.
【事前学習】基礎ゼミの教科書と事前配信スライドを読み, 同値関係について復習しておくこと. （2時間） 【事後学習】第４回宿題を通して, イデアルの種々の演算を修得すること. （3時間） 【授業形態】対面授業 |
| 5 |
代数系の基礎知識（第１～４回までの内容）に関するオンデマンド試験とその解説(A-3,A-4,A-5)
【事前学習】第１～４回の講義内容を良く復習しておくこと. （2時間） 【事後学習】担当教員から提示された解答例を良く学修し, 理解に努めること（A-8). （3時間） 【授業形態】オンデマンド型授業 |
| 6 |
ユークリッドの互除法：「ユークリッドの互除法」を通して、最大公約元の求め方を学修する。
【事前学習】代数学序論１で学んだユークリッドの互除法を復習し, 事前配信スライドに目を通しておくこと. （2時間） 【事後学習】第６回宿題を通して, ユークリッドの互除法を深く理解すること. （3時間） 【授業形態】対面授業 |
| 7 |
合同方程式：合同方程式の一般的な解法を学び，整数環が単項イデアル整域（PID)であることを理解する。
【事前学習】これまでの講義内容を通して, イデアルについて復習しておくこと. （2時間） 【事後学習】第７回宿題を通して, 合同方程式が解けるように練習する. （3時間） 【授業形態】対面授業 |
| 8 |
整数環のイデアル：整数環のイデアルの演算を通して、イデアルの計算方法を習得する。
【事前学習】第４回の環とイデアルを復習しておく。 （2時間） 【事後学習】整数環のイデアルの計算方法を習得する。 （3時間） 【授業形態】対面授業 |
| 9 |
まとめ１：整数環のイデアル、合同方程式について復習する(A-8)。
【事前学習】第７・８回の講義内容について復習しておくこと. （2時間） 【事後学習】第９回宿題を通して, オイラー函数の値や余りの計算方法を習得する （3時間） 【授業形態】対面授業 |
| 10 |
中国の剰余定理：中国の剰余定理を通して、アルチン環の構造を理解する。
【事前学習】整数についての性質,を復習しておくこと. （2時間） 【事後学習】第10回宿題を通して、百五問題の類題の解法を身に着ける。 （3時間） 【授業形態】対面授業 |
| 11 |
オイラー函数とフェルマーの小定理：オイラー函数の公式を用いて、オイラー函数を計算する。
【事前学習】第10回（中国の剰余定理）の証明を復習しておく。 （2時間） 【事後学習】第11回宿題を通して, オイラー函数の値や剰余の求め方について学ぶ. （3時間） 【授業形態】対面授業 |
| 12 |
体と逆元：逆元の求め方をいくつかの視点から学修する。
【事前学習】「環と体」及び「剰余環」について復習しておくこと. （2時間） 【事後学習】第12回宿題を通して, Ｃの部分体の逆元の計算方法を学ぶ. （3時間） 【授業形態】対面授業 |
| 13 |
環の準同型定理：環の準同型定理を通して、環としての同型の意味を理解する。
【事前学習】環とイデアルについて復習しておくこと. （2時間） 【事後学習】第13回宿題を通して、環の準同型の核の計算の仕方を学修する。 （3時間） 【授業形態】対面授業 |
| 14 |
まとめ２：「中国の剰余定理、オイラー函数」を中心にこれまでの内容を復習し，講義内容の理解を深める(A-8)
【事前学習】代数学１で学修した内容を整理しておくこと. （2時間） 【事後学習】代数系，整数環，合同方程式それぞれについてまとめ，ノート作成の準備をする(A-8). （3時間） 【授業形態】対面授業 |
| 15 |
期末試験とその解説(A-8)
【事前学習】この講義で学修した内容全般を整理しておくこと. （2時間） 【事後学習】環論と初等整数論で学修した内容を比較して，理解を深めること. （3時間） 【授業形態】対面授業 |
| その他 | |
|---|---|
| 教科書 | スライド資料を配信します. |
| 参考書 | 渡辺敬一，草場公邦 『『代数の世界・改訂版 （すうがくぶっくす）』』 朝倉書店 2012年 第1版 |
| 成績評価の方法及び基準 | 授業内テスト:中間試験と期末試験において，議論の正確さと学修内容の理解度を評価する．(60%)、授業参画度(40%) ２回の授業内テストでは，その正確さ, 議論の丁寧さ, 発展的な内容に対するアプローチを通して, (A-3, A-4, A-5)の達成度を評価する. 授業参画度は，演習への参加状況と宿題を評価する. また, その取り組みの姿勢も含めて(A-3,A-4)の達成度も評価する。 まとめを通して、(A-8)の達成度を評価する。 |
| オフィスアワー | ライン, Blackboard を通して随時質問しても構いません。講義終了後に質問してくれてもOKです。 |
| 備考 | ・「初等整数論」または「代数学序論１」を履修していることが望ましい. |