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曲線と曲面

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令和２年度以降入学者 曲線と曲面
教員名 池田和正
単位数    2 学年 3･4 開講区分 文理学部
科目群 数学科
学期 前期 履修区分 選択
授業形態 対面授業
授業の形態 対面授業
Blackboard ID 20231379
授業概要 曲線と曲面の数学への入門的講義をおこないます。はじめに、図形的な観点から微分法の復習をし、その応用として平面曲線についてを学びます。つぎに、逆関数定理と陰関数定理について学び、曲面を厳密に定義します。後半では、展開図や貼り合わせという位相幾何的な考え方を使って、曲面について学びます。
授業のねらい・到達目標 ＜授業のねらい・到達目標＞
・曲線や曲面の扱いを通して、微分法の応用力をつける。写像や曲面を図形的、直観的に扱う練習を通して、空間認識能力（空間図形に対する能力）を身に付ける。
・展開図や貼り合わせという考え方について、数学的に正確に説明できる。

＜ディプロマポリシーとの関係＞
この科目は文理学部（学士（理学））のディプロマポリシー DP3,4,5,8 及びカリキュラムポリシー CP3,4,5,8に対応しています。

＜日本大学教育憲章との関係＞
・自らが獲得してきた数理科学的知識を基礎とし、その上で既存の知識にとらわれることなく、数理科学的根拠に基づいて論理的に考察することができる(A-3-3)。
・日常生活における現象に潜む数理科学的問題を発見し、専門的知識に基づいて解決案を作成できる(A-4-3)。
・新しい問題に取り組む意識を持ち、そのために必要な情報を収集することができる(A-5-2)。
・自分の学修経験の振り返りを継続的に行うことができる(A-8-1)。
授業の形式 講義
授業の方法 講義を中心に、適宜演習テストをおこないます。授業はプリントを配布してそれに沿ってすすめるので、予習復習をきちんとすること。具体的には授業計画を参照のこと。

対面授業に参加できない事象が生じた場合、担当教員の事前の許可があれば Zoom などにより遠隔参加できることもあります。
履修条件 この科目は新カリ(2020年度以降入学者向け)科目です。2019年以前の入学者は「幾何学１」を受講して下さい。
授業計画
1 陽関数で表される平面曲線の法線,曲率中心(A-3,A-4)
【事前学習】放物線, カテナリなど高校で習った曲線の復習をしておくこと(A-3) （2時間）
【事後学習】いろいろな平面曲線の法線や曲率中心を計算すること(A-4) （3時間）
【授業形態】対面授業
2 パラメーターで表される平面曲線の接ベクトル,長さ(A-3,A-4)
【事前学習】サイクロイド, アステロイド, カージオイドなど高校で習った曲線の復習をしておくこと(A-3) （2時間）
【事後学習】いろいろな平面曲線の接ベクトルや長さを計算してみること(A-4) （3時間）
【授業形態】対面授業
3 パラメーターで表される平面曲線の曲率(A-3,A-4)
【事前学習】平面曲線の曲率とは何かを調べておくこと(A-3) （2時間）
【事後学習】いろいろな平面曲線の曲率を計算すること(A-4) （3時間）
【授業形態】対面授業
4 パラメーターで表される空間曲線の主法線ベクトル, 従法線ベクトル(A-3,A-4)
【事前学習】空間内の円や常螺旋など高校や大学1年で習った空間曲線を復習しておくこと(A-3) （3時間）
【事後学習】いろいろな空間曲線の長さや法線ベクトルを計算すること(A-4) （2時間）
【授業形態】対面授業
5 曲率, 捩率, フレネ・セレの公式(A-3, A-4)
【事前学習】フレネ・セレの公式とはなにか調べておくこと(A-3) （2時間）
【事後学習】いろいろな空間曲線の曲率や捩率を計算すること(A-4) （3時間）
【授業形態】対面授業
6 逆関数の微分の公式と逆関数定理(A-3, A-4)
【事前学習】高校で習った逆関数とその微分について復習しておくこと(A-3) （2時間）
【事後学習】逆関数定理の証明を復習すること(A-4) （3時間）
【授業形態】対面授業
7 陰関数の微分と陰関数定理(A-3, A-4)
【事前学習】高校や大学1年で習った陰関数の微分を復習しておくこと(A-3) （2時間）
【事後学習】陰関数定理の証明を復習すること(A-4) （3時間）
【授業形態】対面授業
8 中間試験とその解説(A-5,A-8)
【事前学習】ここまでの授業内容をよく復習しておくこと (A-5) （2時間）
【事後学習】解けなかった問題を解きなおすこと(A-8) （3時間）
【授業形態】対面授業
9 陰関数で表される空間内の曲面(A-3, A-4)
【事前学習】大学1,2年で習った2次曲面を復習しておくこと(A-3) （2時間）
【事後学習】いろいろな空間内の曲面について法線や接平面を計算してみること(A-4) （3時間）
【授業形態】対面授業
10 パラメーターで表される空間内の曲面(A-3, A-4)
【事前学習】トーラスやその他の回転面について, パラメーター表示を考えてみること(A-3) （2時間）
【事後学習】曲面の接ベクトルや曲面上の曲線の長さを計算してみること(A-4) （3時間）
【授業形態】対面授業
11 基本形式(A-3, A-4)
【事前学習】曲面の基本形式について調べておくこと(A-3) （2時間）
【事後学習】いろいろな曲面に対して第1基本形式, 第2基本形式を計算してみること(A-4) （3時間）
【授業形態】対面授業
12 ガウスの曲率, 平均曲率, 主曲率(A-3, A-4)
【事前学習】パラメーターで表される空間曲面の曲率の定義について調べておくこと(A-3) （2時間）
【事後学習】曲率の計算法を復習すること(A-4) （3時間）
【授業形態】対面授業
13 2次曲面の曲率
【事前学習】2次曲面のパラメーター表示をし, 曲率を計算してみること(A-3) （2時間）
【事後学習】2次曲面の曲率計算の復習すること(A-3) （3時間）
【授業形態】対面授業
14 トーラスの曲率とガウス・ボンネの定理.
【事前学習】ガウス・ボンネの定理について調べておくこと(A-3) （3時間）
【事後学習】トーラスの曲率計算の復習すること(A-4) （3時間）
【授業形態】対面授業
15 期末試験とその解説 (A-5,A-8)
【事前学習】中間からの授業内容をよく復習しておくこと (A-5) （3時間）
【事後学習】解けなかった問題を解きなおすこと(A-8) （1時間）
【授業形態】対面授業
その他
教科書 なし
参考書 小林昭七 『曲線と曲面の微分幾何』 裳華房 1977年
小林真平 『曲面とベクトル解析 （日評ベーシック・シリーズ）』 日本評論社 2016年
なし
成績評価の方法及び基準 授業内テスト:中間試験と期末試験を評価する(66%)、授業参画度:予習状況と理解度, 議論の正確さを評価する.(34%)
試験では復習状況と議論の正確さ, 学修内容の理解度を中心に評価する。
授業内テストを通じて, (A-3,A-4)の達成度を評価し, 試験によって (A-5)の達成度を評価する。また, 事後学修への取り組みを通じて, (A-8)を評価する。
オフィスアワー 授業やその前後に積極的に質問して下さい.

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