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代数学特論Ⅱ

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令和2年度以降入学者 代数学特論Ⅱ
教員名 下元数馬
単位数    2 課程 前期課程 開講区分 文理学部
科目群 地球情報数理科学専攻
学期 後期 履修区分 選択必修
授業形態 対面授業
授業の形態 毎回、対面形式で行う。
Blackboard ID 20234843
授業概要 正標数の可換環の手法について学ぶ。特に、密着閉包の理論、F-特異点と呼ばれるネーター環やKunzの定理といったこの分野で基本的な内容をカバーしながら発展的な内容についても触れる。
授業のねらい・到達目標 代数幾何学で扱われる特異点を可換環を用いて調べる。
最終的に以下の内容について理解を深めることができる。
・Frobenius写像の定義と基本的性質
・密着閉包と整閉包
・正則環の特徴づけ(Kunzの定理)
・様々なF-特異点の定義と構造
授業の形式 講義、演習
授業の方法 対面形式で行うが、出席できない学生に対してはレポート課題等で対応する。
授業計画
1 準備と復習1(可換環と加群)
【事前学習】可換環の基礎理論 (2時間)
【事後学習】第1回目の内容の復習 (2時間)
【授業形態】対面授業
2 準備と復習2(イデアルと局所化)
【事前学習】可換環の基礎理論 (2時間)
【事後学習】第2回目の内容の復習 (2時間)
【授業形態】対面授業
3 Frobenius写像(テンソル積とHom)
【事前学習】テンソル積とHom (2時間)
【事後学習】第3回目の内容の復習 (2時間)
【授業形態】対面授業
4 Frobenius写像(平坦加群と射影加群)
【事前学習】平坦加群と射影加群 (2時間)
【事後学習】第4回目の内容の復習 (2時間)
【授業形態】対面授業
5 Frobenius写像(密着閉包)
【事前学習】イデアル (2時間)
【事後学習】第5回目の内容の復習 (2時間)
【授業形態】対面授業
6 ネーター環(局所環と次元)
【事前学習】素イデアルと極大イデアル (2時間)
【事後学習】第6回目の内容の復習 (2時間)
【授業形態】対面授業
7 ネーター環(パラメータ系)
【事前学習】局所化 (2時間)
【事後学習】第7回目の内容の復習 (2時間)
【授業形態】対面授業
8 ネーター環(正則環の定義)
【事前学習】特異点と非特異点 (2時間)
【事後学習】第8回目の内容の復習 (2時間)
【授業形態】対面授業
9 Kunzの定理(証明1)
【事前学習】複体と射影分解 (2時間)
【事後学習】第9回目の内容の復習 (2時間)
【授業形態】対面授業
10 Kunzの定理(証明2)
【事前学習】密着閉包とイデアル商 (2時間)
【事後学習】第10回目の内容の復習 (2時間)
【授業形態】対面授業
11 Kunzの定理(証明3)
【事前学習】Serreの正則性定理 (2時間)
【事後学習】第11回目の内容の復習 (2時間)
【授業形態】対面授業
12 Kunzの定理(証明4)
【事前学習】Kunzの定理の主張 (2時間)
【事後学習】第12回目の内容の復習 (2時間)
【授業形態】対面授業
13 F-特異点(F-正則環)
【事前学習】F-正則環 (2時間)
【事後学習】第13回目の内容の復習 (2時間)
【授業形態】対面授業
14 F-特異点(F-有理環)
【事前学習】F-有理環 (2時間)
【事後学習】第14回目の内容の復習 (2時間)
【授業形態】対面授業
15 F-特異点(F-単射環)
【事前学習】14回までの内容の復習 (2時間)
【事後学習】第15回目の内容の復習 (2時間)
【授業形態】対面授業
その他
教科書 教科書は指定しない。
参考書 松村英之 『可換環論』 共立出版 1970年
M. Atiyah and I. MacDonald, Introduction to commutative algebra, Westview Press, 1994
W. Bruns and J. Herzog, Cohen-Macaulay rings:Cambridge Studies in Advanced Mathematics, Cambridge University Press, 2008, 2 edition
和書、洋書を含めて色々な本が出版されているので参考にするとよい。またM. Hochsterがオンライン上で公表している密着閉包(tight closure)に関するレクチャーノートがあるので、各自で入手すると良い。
成績評価の方法及び基準 レポート:議論の正確さと学修内容の理解度を評価する(70%)、授業参画度(30%)
毎回の質問などの積極性を授業参画度として評価する。
オフィスアワー 講義終了後にメールなどで行う。

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