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令和2年度以降入学者 | 代数学特論Ⅱ | ||||
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教員名 | 下元数馬 | ||||
単位数 | 2 | 課程 | 前期課程 | 開講区分 | 文理学部 |
科目群 | 地球情報数理科学専攻 | ||||
学期 | 後期 | 履修区分 | 選択必修 |
授業形態 | 対面授業 |
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授業の形態 | 毎回、対面形式で行う。 |
Blackboard ID | 20234843 |
授業概要 | 正標数の可換環の手法について学ぶ。特に、密着閉包の理論、F-特異点と呼ばれるネーター環やKunzの定理といったこの分野で基本的な内容をカバーしながら発展的な内容についても触れる。 |
授業のねらい・到達目標 | 代数幾何学で扱われる特異点を可換環を用いて調べる。 最終的に以下の内容について理解を深めることができる。 ・Frobenius写像の定義と基本的性質 ・密着閉包と整閉包 ・正則環の特徴づけ(Kunzの定理) ・様々なF-特異点の定義と構造 |
授業の形式 | 講義、演習 |
授業の方法 | 対面形式で行うが、出席できない学生に対してはレポート課題等で対応する。 |
授業計画 | |
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1 |
準備と復習1(可換環と加群)
【事前学習】可換環の基礎理論 (2時間) 【事後学習】第1回目の内容の復習 (2時間) 【授業形態】対面授業 |
2 |
準備と復習2(イデアルと局所化)
【事前学習】可換環の基礎理論 (2時間) 【事後学習】第2回目の内容の復習 (2時間) 【授業形態】対面授業 |
3 |
Frobenius写像(テンソル積とHom)
【事前学習】テンソル積とHom (2時間) 【事後学習】第3回目の内容の復習 (2時間) 【授業形態】対面授業 |
4 |
Frobenius写像(平坦加群と射影加群)
【事前学習】平坦加群と射影加群 (2時間) 【事後学習】第4回目の内容の復習 (2時間) 【授業形態】対面授業 |
5 |
Frobenius写像(密着閉包)
【事前学習】イデアル (2時間) 【事後学習】第5回目の内容の復習 (2時間) 【授業形態】対面授業 |
6 |
ネーター環(局所環と次元)
【事前学習】素イデアルと極大イデアル (2時間) 【事後学習】第6回目の内容の復習 (2時間) 【授業形態】対面授業 |
7 |
ネーター環(パラメータ系)
【事前学習】局所化 (2時間) 【事後学習】第7回目の内容の復習 (2時間) 【授業形態】対面授業 |
8 |
ネーター環(正則環の定義)
【事前学習】特異点と非特異点 (2時間) 【事後学習】第8回目の内容の復習 (2時間) 【授業形態】対面授業 |
9 |
Kunzの定理(証明1)
【事前学習】複体と射影分解 (2時間) 【事後学習】第9回目の内容の復習 (2時間) 【授業形態】対面授業 |
10 |
Kunzの定理(証明2)
【事前学習】密着閉包とイデアル商 (2時間) 【事後学習】第10回目の内容の復習 (2時間) 【授業形態】対面授業 |
11 |
Kunzの定理(証明3)
【事前学習】Serreの正則性定理 (2時間) 【事後学習】第11回目の内容の復習 (2時間) 【授業形態】対面授業 |
12 |
Kunzの定理(証明4)
【事前学習】Kunzの定理の主張 (2時間) 【事後学習】第12回目の内容の復習 (2時間) 【授業形態】対面授業 |
13 |
F-特異点(F-正則環)
【事前学習】F-正則環 (2時間) 【事後学習】第13回目の内容の復習 (2時間) 【授業形態】対面授業 |
14 |
F-特異点(F-有理環)
【事前学習】F-有理環 (2時間) 【事後学習】第14回目の内容の復習 (2時間) 【授業形態】対面授業 |
15 |
F-特異点(F-単射環)
【事前学習】14回までの内容の復習 (2時間) 【事後学習】第15回目の内容の復習 (2時間) 【授業形態】対面授業 |
その他 | |
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教科書 | 教科書は指定しない。 |
参考書 | 松村英之 『可換環論』 共立出版 1970年 M. Atiyah and I. MacDonald, Introduction to commutative algebra, Westview Press, 1994 W. Bruns and J. Herzog, Cohen-Macaulay rings:Cambridge Studies in Advanced Mathematics, Cambridge University Press, 2008, 2 edition 和書、洋書を含めて色々な本が出版されているので参考にするとよい。またM. Hochsterがオンライン上で公表している密着閉包(tight closure)に関するレクチャーノートがあるので、各自で入手すると良い。 |
成績評価の方法及び基準 | レポート:議論の正確さと学修内容の理解度を評価する(70%)、授業参画度(30%) 毎回の質問などの積極性を授業参画度として評価する。 |
オフィスアワー | 講義終了後にメールなどで行う。 |