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非線形解析

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科目名
平成28年度以前入学者
非線形解析
教員名 渡辺一雄
単位数    2 学年    3 開講区分 文理学部
科目群 情報科学科(情報システム解析学科)
学期 前期 履修区分 選択必修
授業概要 「極値問題」を取り扱う。一変数関数の極値から始めて、二変数関数、凸関数、無限次元空間での極値問題に関して講義をする。
授業のねらい・到達目標 [ 授業のねらい ]
前半では、一変数関数 のfの 極値は一階の微分 f'=0となる点を求めれば、極値の候補が分かるが、これだけでは不十分である。ほぼ、必要十分条件に近い形で定理を与える。
多変数関数に対してはどうであるかを考察する。特に、微分、偏微分の計算、行列の内積などを使って、微分積分と線形代数のつながりを講義する予定である。
後半では、無限次元空間での極値問題を変分法を用いて扱う。

[ 到達目標 ]
これまでの数学のバラバラであった知識(微分、線形代数)を結びつけることができるようになる。関数を「点」とみなすことができるようになる。

この科目は文理学部(学士(理学))のディプロマポリシーDP6及びカリキュラムポリシーCP9に対応しています。
授業の方法 約60分の板書による講義形式と約30分の問題を解く演習形式。
毎回、授業時間内に出題したものを解いて提出すること。
本授業の事前・事後学習は,各2時間の学習を目安とする。
授業計画
1ガイダンス(授業のテーマや到達目標及び授業の方法について説明する)
プリント(一、二変数の極値)の配布

事前学習:シラバスを事前に確認すること
事後学習:プリント(一変数の極値の項目)を読んでおくこと
2一変数関数の微分の定義(再考)

事前学習: プリント(一変数の極値の項目)を読んでおくこと
事後学習: 講義の復習をすること
3一変数関数の Taylor 展開と極値。
[到達目標:一変数関数が極値を持つための条件が分かるようになる]

事前学習: プリント(一変数の極値の項目)を読んでおくこと
事後学習: 講義の復習をすること
4二変数関数の微分とTaylor展開(再考)

事前学習:プリント(二変数の極値の項目)を読んでおくこと
事後学習: 講義の復習をすること
5二次曲面と二次形式。
[到達目標:二次形式を行列とベクトルを使って表すことができるようになる]

事前学習: ベクトルの内積の計算の仕方を復習しておくこと
事後学習: 講義の復習をすること
6二変数関数の極値。
[到達目標:二変数関数の極値を求めることができるようになる]

事前学習:プリント(二変数の極値の項目)を読んでおくこと
事後学習: 講義の復習をすること
7条件付き極値問題。
[到達目標:Lagrange の未定乗数法が使えるようになる]

事前学習:プリント(条件付き極値の項目)を読んでおくこと
事後学習: 講義の復習をすること
8中間試験(第1回~第7回までの確認・理解を深める)
プリント(凸関数)を配布

事前学習:第1回~第7回の内容を復習すること
事後学習:解けなかった試験問題を解くこと
9凸関数。
[到達目標:凸関数の定義が書けるようになる]

事前学習: 前回配布のプリントを読んでおくこと
事後学習: 講義の復習をすること
10凸関数を使った応用。
プリント(無限次元ベクトル空間で極値問題)を配布
[到達目標:相加相乗平均の一般化が分かるようになる]

事前学習: プリントを読んでおくこと
事後学習: 講義の復習をすること
11無限次元ベクトル空間。
[到達目標:関数全体からなる空間がベクトル空間になることが分かるようになる]

事前学習: 線形代数の教科書でベクトル空間の定義(公理)を確認しておくこと
事後学習: 講義の復習をすること
12変分法:Dirichlet(ディリクレ)問題。
[到達目標:無限次元空間での微分の方法が分かるようになる]

事前学習: プリント(Dirichlet 問題の項目)を読んでおくこと
事後学習: 講義の復習をすること
13変分法: Neumann(ノイマン)問題。
[到達目標:Dirichlet 問題との違いが分かるようになる]

事前学習: プリント(Neumann 問題の項目)を読んでおくこと
事後学習: 講義の復習をすること
14変分法:上記以外の条件付き極値問題。
[到達目標:変分法を他の問題に応用できるようになる]

事前学習: プリントを読んでおくこと
事後学習: 講義の復習をすること
15これまでの復習・解説を行い授業の理解を深める

事前学習:第9回~第14回の内容を復習すること
事後学習:解けなかった問題を解き直し、学習した内容を復習・整理すること
その他
教科書 必要に応じてプリントを配布する。
参考書 黒田成俊 『関数解析 (共立数学講座)』 共立出版 1980年 第初版
谷島賢二 『ルベーグ積分と関数解析 (数学の考え方)』 朝倉書店 2015年 第新版
Jan Van Tiel , Convex Analysis: An Introductory Text, John Wiley & Sons, 1984, 1 edition
・参考書は9回目以降の講義の参考にしている。
・洋書は「凸関数」に関しての記述があり、和書では凸関数に関して詳しいものがあまりないので挙げておいた。
・後半のもう一つの話題として、無限次元空間での極値問題では、一つ目の参考書「関数解析」(黒田著)6章の「Diriclet の原理」に関しての講義を一変数に書き直して行う。しかしながら、完全な形にするためには、ルベーグ積分の力を借りなければならないので、二つ目の参考書「ルベーグ積分と関数解析」(谷島著)を挙げておいた。
成績評価の方法及び基準 試験(50%)、授業内テスト(40%)、授業参画度(10%)
授業時のリアクションペーパーの提出を授業参画度とする。また、成績は、中間試験(授業内テスト)、期末試験、授業参画度を合わせて評価する。
オフィスアワー 初回授業の時に指示する。
備考 e-mail: kaz1wata@kitasato-u.ac.jp

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