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代数学

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平成29年度以降入学者 代数学
平成28年度以前入学者 代数1
教員名 齋藤明
単位数    2 学年    2 開講区分 文理学部
(他学部生相互履修可)
科目群 情報科学科(情報システム解析学科)
学期 後期 履修区分 選択必修
授業概要 四則計算とは何か。
授業のねらい・到達目標 整数の足し算、ベクトルの足し算、行列の足し算は全て異なる演算だが、我々は普段その違いを意識せず同じ+の記号を違和感なく用いている。また有限の値しか扱えない計算機が行う四則演算は、厳密には数学の四則演算と異なるはずである。ところが我々は普段それを意識しない。計算機による計算をより深く理解するためには、「なぜ我々は意識しせず四則計算できるのか」を知っておく必要がある。本講義を通して、四則計算の本質を理解することができる。

この科目は文理学部(学士(理学))のディプロマポリシーDP6及びカリキュラムポリシーCP9に対応している。
授業の方法 講義と演習により進める。講義プリントと演習プリントを配布する。
本授業の事前・事後学習は,各2時間の学習を目安とする。
履修条件 2年前期科目「離散数学」を履修していることが望ましい。本講義では、「離散数学」で学ぶ集合や2項関係の知識が仮定されている。
授業計画
1「離散数学」で学んだ集合と2項関係、写像の概念について、確認と補足を行う。
[事前学習]「離散数学」の内容を復習しておくこと。
[事後学習] 配布する演習プリントの3番を解くこと。
22項演算と半群の概念を学ぶ
[事前学習] 第1回授業で配布する講義プリントの第1章と第2章の定義2.4までをよんでおくこと。
[事後学習] 演習プリントの6番を解くこと。
3半群の性質を調べる。またモノイドの概念を学ぶ。
[事前学習] 講義プリントの定義2.7までを読んでおくこと。
[事後学習] 演習プリントの7番を解くこと。
4群の定義を学び、また群の例をいくつか見る。
[事前学習] 講義プリントの定理2.11までを読んでおくこと。
[事後学習] 演習プリントの8番を解くこと。
5部分群と剰余類、正規部分群の概念を学ぶ。
[事前学習] 講義プリントの定理2.20 までを読んでおくこと。
[事後学習] 演習プリントの12番を解くこと。
6群の同型、準同型の概念を学ぶ。また群の準同型定理を学ぶ。
事前学習] 講義プリントの定理2.22までを読んでおくこと。
[事後学習] 演習プリントの15番を解くこと。
7置換群の概念と置換の計算方法を学ぶ。
[事前学習] 講義プリントの定義2.26までを読んでおくこと。
[事後学習] 演習プリントの17番を解くこと。
8置換の巡回置換表現と巡回置換表現における置換の計算方法を学ぶ。
[事前学習] 講義プリントの定理2.32までを読んでおくこと。
[事後学習] 演習プリントの19番を解くこと。
9環の概念を学び、例として実数上の多項式環の性質を調べる。
[事前学習] 講義プリントの定理3.3までを読んでおくこと。
[事後学習] 演習プリントの20番を解くこと。
10体の概念を学ぶ。体上の多項式の既約性を学ぶ。
[事前学習] 講義プリントの定義3.12までを読んでおくこと。
[事後学習] 演習プリントの22番を解くこと。
11拡大体の概念を学ぶ。また原始既約多項式、原始元の概念を学ぶ。
[事前学習] 講義プリントの定義3.15までを読んでおくこと。
[事後学習] 演習プリントの24番を解くこと。
12Z/pZ上の原始既約多項式を用いて有限体を構成する方法を学ぶ。また有限体の位数は素数べきになることを確認する。
[事前学習] 講義プリントの定理3.18までを読んでおくこと。
[事後学習] 演習プリントの25番を解くこと。
13前回の講義内容をベースとして、実際にGF(16)を構成し、その上で四則演算を行う。
[事前学習] 講義プリントの定理3.19までを読んでおくこと。
[事後学習] 演習プリントの26番を解くこと。
14有限体の応用例として、フロベニウス変換と有限体を用いたGF(2)上の多項式の因数分解を見る。
[事前学習] 講義プリントの定理3.22までを読んでおくこと。
[事後学習] 演習プリントの28番を解くこと。
15これまでの講義内容の補足を行う。
[事前学習] 演習プリントの29番を解くこと。
[事後学習] 2018年度の試験問題を解いてみること。
その他
教科書 なし
参考書 平林隆一 『代数系とその応用 (工学基礎)』 数理工学社 2006年 第1版
成績評価の方法及び基準 試験(70%)、宿題(30%)
上記15回の講義とは別の時間を設け、試験を1回行いその結果を基に評価する。試験内容の詳細は第12回の講義で述べる。
また毎回宿題を出題する。宿題の提出状況と解答状況を評価する。
オフィスアワー 毎週火曜日及び水曜日の 12:10~13:00 をオフィスアワーとする。可能であれば電子メールにてアポイントを取ること。電子メールアドレスは授業初回時に伝える。アポイントを取らずに来室することも可能だが、アポイントを取ってきた人がいる場合には、そちらを優先する。
備考 授業計画に書かれた講義プリント、演習プリントの箇所は2018年度版のものに基づいている。ただしプリントは毎年更新されている。更新により定義、定理の番号、問題番号が変化することがある。その場合には授業時および BlackBoard で適宜変更箇所を伝える。

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