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微分積分学１（含演習）
| 令和２年度以降入学者 | 微分積分学１（含演習） | ||||
|---|---|---|---|---|---|
| 教員名 | 山浦義彦 | ||||
| 単位数 | 3 | 学年 | 1～4 | 開講区分 | 文理学部 |
| 科目群 | 数学科 | ||||
| 学期 | 前期 | 履修区分 | 必修 | ||
| 授業形態 | 対面授業 |
|---|---|
| 授業の形態 | 対面講義 Canvas LMS による資料アップロード, および, 報告書(講義毎)の提出あり. |
| Canvas LMSコースID・コース名称 | P006230D7 2024微分積分学１（含演習）（山浦義彦・前・金1・金2） |
| 授業概要 | 高等学校の主に「数学III」で学んできた微分積分学の内容を, これから4年間を通じて学ぶ専門数学を理解するために必要な形で導入し, より深い理解を目指す.高等学校の授業のように具体的な計算問題も取り入れるが, 最終的に目指したい抽象的な概念の導入に重点を置いて説明する. 具体的には, 数列の極限, 関数の極限を出発点とする. 高等学校では厄介者扱いされていた「振動」という現象についても深く考察する. 次に, 関数の連続性, 微分可能性について，中学校で学ぶ一次関数や二次関数などの易しい例から出発し，抽象的に与えられた関数についての定義の説明を行う. 連続とは単に「グラフがつながっている」という直観だけでは足りない. また微分可能性も単に「グラフが滑らかな曲線である」という直観だけでは不十分である. 様々な, ある意味で病的な例を学ぶことによりその概念の適用範囲の広さを知ることが深い理解につながる. さらに, 微分可能性に関連する, 接線の考え方や平均値定理, 合成関数微分法, 逆関数微分法などの重要な考え方についても深く考察し理解を目指す. |
| 授業のねらい・到達目標 | 【授業のねらい】 高等学校の数IIIの微分積分の大きな目標は, 練習問題を解くことである. 一方, 本講義では練習問題を解くだけでなく, 数学の基本原理の理解に焦点を当てて解説を行う. 特に, 極限の扱いについて新しい観点を導入する. それらを理解することにより, 極限の原理を数IIIより深く理解することをねらいとする. 【到達目標】 極限が存在するとはどういう現象か, しないとはどういうことなのかを正しく身に着けることを目標とする. 極限の考え方は解析学を学ぶ上での「言葉」と言える基本的な項目であるため, この到達目標は今後数学を学ぶ上での重要な基礎になる. ・関数列の各点収束と一様収束を判定しそれを証明することができる. ・関数の連続性と微分可能性を判定しそれを証明することができる. ・様々な関数のテイラー展開を求めることができる. ・平均値定理を使って具体的な微分に係る演習問題を解くことができる. ・定数係数線型2階常微分方程式が解くことができる. ・関数の増減や凹凸を考慮して, 端点微分までこめて正確なグラフが描ける. 【ディプロマポリシーとの関係】 この科目は文理学部（学士（理学））のディプロマポリシー DP3,DP4,DP6,DP8 及びカリキュラムポリシー CP3,CP4,CP6,CP8 に対応しています。 【日本大学教育憲章との関係】 ・論理的思考力を身につけるための第一歩として数理科学の書物を読みこなし理解することができる(A-3-1). ・日常生活における現象に潜む数理科学的問題を発見することができる(A-4-1). ・周りの人々と相互に意思を伝達することができる(A-6-1). ・自分の学修経験の振り返りを継続的に行うことができる(A-8-1). |
| 授業の形式 | 講義、演習 |
| 授業の方法 | 原則として対面で実施します. なお, やむを得ない事情で欠席した場合, あるいは復習の勉強用として活用できるように, Canvas LMS に過年度に作成した講義ビデオをアップロードしますので活用ください. 講義毎に, A4用紙1枚の「演習問題」を配布し, 演習時間に解いていただき, 質問や相談は自由にできるようにします. 受講後に詳細解説入りの「演習書」を用いて各自, 自学を行っていただきます. 講義内容に関する質問は, 対面ならば講義時間内に直接, また, 対面, 遠隔にかかわらず, Canvas LMS およびメールで随時受け付けます. 演習の模範解答は, 講義の翌週の火曜日の朝6:00に Canvas LMS の課題ボックスにアップロードします. 受講生は, 講義の一週間後の木曜日までに「復習成果報告書」を Canvas LMS に提出してください. 報告書内の質問等には Canvas LMS でフィードバックします. 本授業の事前・事後学習は事後に毎日2時間から3時間の学習を目安とします. ※「学部(学科)が認めた者」以外の遠隔希望者の扱いについて. 過年度に作成した同じ回の講義ビデオと, 当日実施した「演習」の pdf を Canvas LMS にアップロードします. 以上をもって受講の代わりとすることができます. 欠席がやむを得ない事情(感染症陽性, 濃厚接触など)であれば, 出席点は対面の場合と同じ点数を加点します. |
| 履修条件 | 特になし. |
| 授業計画 | |
|---|---|
| 1 |
【第1回講義】ガイダンス，展望, 関数列の収束 高等学校で学んだ「数列」の拡張として「関数列」の概念を学び, 関数列に対して 各点収束と一様収束という2通りの収束の概念があることを学ぶ(A-3). 【事前学習】高等学校で学んだ数列の極限の復習をし, ノートにまとめること. （2時間） 【事後学習】関数列に対しては2種類の収束性を定義できることを理解し, 具体的問題に応用できる力をつけ, ノートにまとめること. （3時間） 【授業形態】対面授業、オンデマンド型授業 |
| 2 |
【第2回講義】関数項級数, Taylor 展開 関数には和が定義される. それによって有限級数, 無限級数が定義されそれを関数項級数と呼ぶ. その最もよく知られたれいとして Taylor 展開を学ぶ (A-3). 高等学校で学んだ関数のグラフの接線が「近似」を意味することを 理解し, より精密な近似としても, Taylor 展開の概念を学ぶ(A-4). 【事前学習】関数列の収束性の定義を復習し, ノートにまとめること. （2時間） 【事後学習】対応と関数の対応規則を理解して, ノートにまとめること. （3時間） 【授業形態】対面授業、オンデマンド型授業 |
| 3 |
【第3回講義】3角級数 関数項級数のもう一つの例として, Fourier 級数論で最も重要な, 参画級数についてんなぶ. 周期の異なる正弦関数, 余弦関数を無限個加えられることによって 定義される3角級数を導入し, その性質を学ぶ(A-3). 【事前学習】高等学校で学んだ無限級数について復習し, ノートにまとめること. （2時間） 【事後学習】3角級数とは何かを理解し, ノートにまとめること. （3時間） 【授業形態】対面授業、オンデマンド型授業 |
| 4 |
【第1回講義】から【第3回講義】の内容に即した演習問題を解いてもらい, 事後に解説をする. 関数の連続性と微分可能性を理解する. 特に, 高等学校では学ばなかった区間端点での 連続性と微分可能性についての正確な定義を学ぶ(A-3). 【事前学習】高等学校の教科書で微分可能性と連続性の定義を確認し, ノートにまとめること. （6時間） 【事後学習】 抽象的に与えられた関数について微分可能性と連続性の定義を正しく理解し, ノートにまとめること. （4時間） 【授業形態】対面授業、オンデマンド型授業 |
| 5 |
第1回授業内中間試験 [原則対面] とその解説 (A-3, A-4). 【試験範囲】第1回講義 ～ 第3回講義の内容 【事前学習】第1回講義から第3回講義までの講義内容をよく復習し, ノートにまとめること (A-8). （10時間） 【事後学習】模範解答を参考にして, 解けなかった問題に対する理解を深め, ノートにまとめること. （3時間） 【授業形態】対面授業 |
| 6 |
【第4回講義】 関数の再生問題, 最大値原理 関数の3角級数による再生についての問題提起を行う. 関数の連続性と微分可能性を理解する. 特に, 高等学校では学ばなかった区間端点での 連続性と微分可能性についての正確な定義を学ぶ(A-3). 【事前学習】高等学校で学んだ接線の方程式を復習し, ノートにまとめること. （2時間） 【事後学習】再生問題を理解して, ノートにまとめること. （3時間） 【授業形態】対面授業、オンデマンド型授業 |
| 7 |
【第5回講義】 Riemann-Lebesgue の不等式, Euloer の公式 高等学校では学ばなかった「連続微分可能性」の概念とその利用方法について学ぶ(A-4). 【事前学習】連続性と微分可能の定義を復習し, ノートにまとめること. （2時間） 【事後学習】連続微分可能性の定義を理解し, ノートにまとめること. （3時間） 【授業形態】対面授業、オンデマンド型授業 |
| 8 |
【第6回講義】 Dirichlet kernel 有界閉区間で定義された連続微分可能な関数が実数全体に拡張できることを学ぶ(A-4). 【事前学習】連続微分可能性を復習し, ノートにまとめること. （2時間） 【事後学習】関数の定義域拡張について理解し, 具体的問題に応用できる力をつけ, ノートにまとめること. （3時間） 【授業形態】対面授業、オンデマンド型授業 |
| 9 |
【第4回講義】から【第6回講義】の内容に即した演習問題を解いてもらい, 事後に解説をする.
【事前学習】高等学校で学んだ平均値定理を復習し, ノートにまとめること. （6時間） 【事後学習】 平均値定理の証明を, 特別な場合であるロルの定理の証明を 込めて理解し, ノートにまとめること. （4時間） 【授業形態】対面授業 |
| 10 |
第2回授業内中間試験 [原則対面] とその解説 (A-3, A-4). 【試験範囲】第4回講義 ～ 第6回講義の内容 【事前学習】第4回講義から第6回講義までの講義内容をよく復習し, ノートにまとめること (A-8). （10時間） 【事後学習】模範解答を参考にして, 解けなかった問題に対する理解を深め, ノートにまとめること. （3時間） 【授業形態】対面授業 |
| 11 |
【第7回講義】 関数の再生問題に対する一解答 関数の再生問題が, 線形代数学における「基底」の概念の無限次元版であることを学ぶ. 【事前学習】高等学校までで学んだ「方程式」とは何だったか復習し, ノートにまとめること. （2時間） 【事後学習】微分方程式とはなにか理解し, 解法に従って解を求められるようにし, ノートにまとめること. （3時間） 【授業形態】対面授業、オンデマンド型授業 |
| 12 |
【第8回講義】 常微分方程式入門, 偏微分 常微分方程式の初歩を学ぶ. 特に, 1階線型常微分方程式と特別な場合の2階線型常微分方程式の解法を学ぶ(A-1). また, 高等学校までで学んできた1変数関数に対して, その変数を2つに増やした「2変数関数」を導入する意義を学び, 偏微分の概念を学習する(A-3). 【事前学習】高等学校で定数つきの関数の微分をどのように計算していたか復習し, ノートにまとめること.. （2時間） 【事後学習】テイラー展開と複素指数関数を復習し, ノートにまとめること. （3時間） 【授業形態】対面授業、オンデマンド型授業 |
| 13 |
【第9回講義】 熱伝導方程式の解決 導関数がつねに0であるような関数は定数関数以外には存在しないことを 理解し, その応用として原始関数の構造を理解する (A-4,A-8). 【事前学習】高等学校で学んだ平均値定理を使った練習問題(指定する)をノートに解いておくこと. （3時間） 【事後学習】 原始関数は定数を除くとただ一つであることを理解し, ノートにまとめること. （2時間） 【授業形態】対面授業、オンデマンド型授業 |
| 14 |
第7回講義から第9回講義までの内容に関する演習問題を解いてもらい, 事後に解説をする.
【事前学習】第7回講義から第9回講義までの内容を復習しておくこと. （6時間） 【事後学習】与えられた演習問題を自力で解けるまで理解を深めること. （4時間） 【授業形態】対面授業、オンデマンド型授業 |
| 15 |
授業内期末試験 [原則対面] とその解説 (A-3, A-4). 【試験範囲】第1回講義 ～ 第9回講義の内容 【事前学習】第１回から第9回までの講義内容のすべてを復習する. （10時間） 【事後学習】模範解答を参考にして, 解けなかった問題に対する理解を深める. （3時間） 【授業形態】対面授業 |
| その他 | |
|---|---|
| 教科書 | 山浦義彦 『微分積分学講義ノート』 簡易製本 2024年 第1版 山浦義彦 『微分積分学演習書』 簡易製本 2024年 第1版 以上の教科書はすべて簡易製本による冊子です. 学内書店にて実費販売します. 後期科目である「微分積分学2」の内容も収録されており, 年度を通じてすべて講義で使いますので必ずご購入ください. 販売されるテキストは以下の5冊セットになります: [1] 微分積分学 講義ノート (これだけ A4版) [2] 微分積分学 用語集 (B5版) [3] 微分積分学1 演習書 (B5版) [4] 微分積分学2 演習書 (B5版) [5] 微分積分学演習書解答集 (B5版) 【注意】 微分積分学2 は後期に使う冊子ですが, 必ずセットで購入してしまってください. 後期になると, 購入できなくなる可能性があります. |
| 参考書 | 水本久夫 『微分積分学の基礎 （培風館）』 培風館 第1版 講義は講義ノート, 演習書を使います. 市販の問題集は適宜計算練習に使う予定です. |
| 成績評価の方法及び基準 | 授業内テスト:合計3回の授業内試験結果(80%)、授業参画度:受講報告書(演習問題用紙答案), 復習成果報告書(20%) 授業内テスト80% と 授業参画度 20% の根拠は以下の通りです. (1) 授業内試験は, 各回ともにおよそ 250点から300点満点の試験になります. 目安として, 3回合計でおよそ 800点程度になる予定です. (2) 演習問題答案兼受講報告書と復習成果報告書(いずれも質問応答の伝達欄あり)はそれぞれ10回程度で毎回10点ですので, 合計200点満点程度になります. 以上により, パーセントを算出しました. |
| オフィスアワー | 月曜日3,4限, 木曜日3限. 研究室にて質問に応じます. その他, メール, Canvas LMSでも質問を随時受け付けます. |
| 備考 | 「事前学習・事後学修」に関する学習時間は目安です. 【重要】 Canvas LMS 登録は4月の早い段階(新入生ガイダンス時など)で必ず行ってください. なお, 登録は1,2限のどちらにも登録可能ですが, 本講義では「1限講義」を使用しますので, 学生は「1限講義」に対して登録をしてください. |