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群論入門

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令和２年度以降入学者 群論入門
教員名 泊昌孝
単位数    2 学年 3･4 開講区分 文理学部
科目群 数学科
学期 前期 履修区分 選択
授業形態 対面授業
Canvas LMSコースID・コース名称 P06823A13　2024群論入門（泊昌孝・前・水5）
授業概要 群論の基礎とその応用を通して，代数系の考え方を理解する．
授業のねらい・到達目標 ＜授業のねらい・到達目標＞
・剰余類の計算を通じて，群の基礎概念（巡回群，位数，部分群，剰余類，指数）を身に着けることができる．
・ラグランジュの定理を通じて，部分群を求めることができる．
・対称群（サイクル）の計算を通じて，共役類，正規部分群を決定する方法を身に着けることができる．
・群の準同型定理を正しく理解し，証明することができる．

＜ディプロマポリシーとの関係＞
この科目はディプロマポリシー DP3,4,5,8 及びカリキュラムポリシー CP3,4,5,8に対応しています。

＜日本大学教育憲章との関係＞
・自らが獲得してきた数理科学的知識を基礎とし、その上で既存の知識にとらわれることなく、数理科学的根拠に基づいて論理的に考察することができる(A-3-3)。
・日常生活における現象に潜む数理科学的問題を発見し、専門的知識に基づいて解決策を作成できる(A-4-3)。
・新しい問題に取り組む意識を持ち、そのために必要な情報を収集することができる(A-5-2)。
・自分の学修経験の振り返りを継続的に行うことができる(A-8-1)。
授業の形式 講義
授業の方法 演習付きの講義形式である。
講義の中で適宜、演習を行う．授業終了後、復習となるミニ課題をほぼ毎回出題する。
提出物に簡単なコメントを入れて返却します。

補助教材として、演習問題や要約が配布される．指示にしたがっての宿題も解いてくる。

事後学習として，要約内の課題（宿題）及び演習問題を利用することができます．
また，群論は市販の問題集も手に入れることができます．参考書のリストをご覧ください．
本授業の事前・事後学習は各々2時間の学習を目安とする。

教室において板書を用いて行います。

また、まとめ教材や演習問題を授業中の配布、そして Canvas LMS での電子配布を行う。そして、講義の諸連絡には、Canvas LMS システムを使用する。
授業計画
1 ガイダンス，群の定義 1 として、2項演算の結合法則の意味を含め、基礎事項を学びます。
【事前学習】シラバスを事前に確認し、教科書第一章1.1節前半を読んでおくこと. （2時間）
【事後学習】第一回の宿題を解くこと （2時間）
【授業形態】対面授業
2 郡の定義 2 として、群の例を置換群によって学び、定義の意味を理解します。
【事前学習】第一回目の講義で説明された用語を復習し，教科書第1章1.1項半〜1.2節に目を通しておくこと． （2時間）
【事後学習】第二回の宿題を解くこと （2時間）
【授業形態】対面授業
3 置換群と多面体群などを学びます。また、群の演算についての様々な基本関係を学びます。
【事前学習】第二回目の講義で説明された用語を復習し，教科書第1章1.2節および配布資料を読んでおくこと． （2時間）
【事後学習】第三回の宿題を解くこと、返却された授業内演習の復習 （2時間）
【授業形態】対面授業
4 部分群の定義を学び、幾何学的に定まる部分群や、置換群として与えられる部分群などで、様々な部分群を知ります。
【事前学習】第三回目までの講義の復習し，教科書第2章 2.1 前半および配布資料に目を通しておくこと． （2時間）
【事後学習】第四回の宿題を解くこと、返却された授業内演習の復習 （2時間）
【授業形態】対面授業
5 部分群になる為の判定法を理解し、巡回群、そして、元の位数を巡回群の生成元の言葉で理解します。
【事前学習】第四回目までの講義の復習し，教科書第2章2.1 後半を良く読んでおくこと． （2時間）
【事後学習】第五回の宿題を解くこと、返却された授業内演習の復習 （2時間）
【授業形態】対面授業
6 部分群による類別、左剰余類を学び、ラグランジュの定理(定理2.6）を学びます。
【事前学習】教科書第2章2.2節を良く読んでおくこと． （2時間）
【事後学習】第５回の宿題を解くこと、これまでに返却された授業内演習の復習 （2時間）
【授業形態】対面授業
7 置換群の部分群、剰余類分割の代表系の選別の技術を学びます。そこで、ラグランジュの定理の簡単な応用を理解します。
【事前学習】教科書第2章2.2節まで、および、配布された資料を良く読んでおくこと． （2時間）
【事後学習】これまでの講義全体の復習、返却された授業内演習の復習 （2時間）
【授業形態】対面授業
8 授業内中間試験　と解説
【事前学習】第１回から第７回までの内容を整理しておくこと． （2時間）
【事後学習】解説の理解、できなかった問題の整理 （2時間）
【授業形態】対面授業
9 正規部分群の定義を理解し、そのようになる判定法、また、アーベル群（加法群）との関係を理解します。
【事前学習】教科書第2章全体を良く読んでおくこと． （2時間）
【事後学習】第９回の宿題を解くこと （2時間）
【授業形態】対面授業
10 群の準同形写像と同形写像を学び、その意義を例を通じて理解します。
【事前学習】教科書第3章3.1節を良く読んでおくこと. （2時間）
【事後学習】第１０回の宿題を解くこと （2時間）
【授業形態】対面授業
11 正規部分群とその剰余群（商群）を理解します。また、商群の例を通じて現れ方の必然性を理解します。
【事前学習】これまでの講義で説明された用語を復習し，教科書を最初から第3章3.1,3.2節までを良く読んでおくこと. （2時間）
【事後学習】第１１回の宿題を解くこと、返却された授業内演習の復習 （2時間）
【授業形態】対面授業
12 群の準同形定理という本講義での中心定理を理解します。
【事前学習】これまでの講義の内容を復習し、特に、教科書第3章定理3.3の証明を良く読んでおくこと. （2時間）
【事後学習】第１２回の宿題を解くこと、返却された授業内演習の復習 （2時間）
【授業形態】対面授業
13 群の性質の応用として、初等整数論で習ったフェルマーの小定理の理解、そして15ゲームやルービックキューブなどで、身近にある現象での群の発見をします。
【事前学習】これまでの講義の内容を復習し、これまでに習った教科書全体良く読んでおくこと. （2時間）
【事後学習】第１３回の宿題を解くこと、返却された授業内演習の復習 （2時間）
【授業形態】対面授業
14 小さな位数の群の構造、２面体群、交代群の単純性、など、次に目標となる重要なテーマを概観し、そこでのシローの定理とその使い方を学びます。
【事前学習】これまでの講義の内容を復習し、教科書全体で、事前に指摘された命題達に目を通しておくこと （2時間）
【事後学習】これまでの講義全体の復習、返却された授業内演習の復習 （2時間）
【授業形態】対面授業
15 授業内最終テストと解説
【事前学習】中間テスト以降の内容、また、指示のあった項目全般について内容を整理しておくこと． （2時間）
【事後学習】解説の理解、振り返り（これまでの講義内容の復習・解説を行い，授業の理解を深める） （2時間）
【授業形態】対面授業
その他
教科書 国吉秀夫著、高橋豊文改訂 『群論入門[新訂版]』 サイエンス社 2001年 第3版
古くから定評のある群論の基礎をまとめた教科書です。演習問題を込め、講義で基礎として使用します。単位をとりたい人は必ず購入すること。
講義では、さらに補助教材を追加配布して解説してゆきます。
参考書 渡辺敬一・草場公房 『代数の世界 （改訂版）』 朝倉書店 2015年 第2版
志賀浩二 『群論への３０講 （数学30講シリーズ）』 朝倉書店 1989年 第1版
浅野啓三、永尾汎 『群論 （岩波全書, オンデマンド）』 岩波書店 2014年 第1版
ホール著、金沢稔・八牧宏美訳 『群論（上） （数学叢書）』 吉岡書店 1969年 第1版
『代数の世界』は個々の命題について行間を埋めながら理解してゆく本ですが，多くの内容が含まれています。それでも書き方に暖かみのある良い本です。大学４年間で学ぶ代数学一般の内容として、代数学専攻の学生としては教科書と共に手元においておくと良いでしょう。

『群論への30講』は、楽しい話題にあふれた読み物として、語り口調ですが厳密な内容をもった立派な入門書です。微分幾何の専門家として志賀先生の個性が導入部のシンメトリーへのこだわり、そして、最後の話題にも現れていて、幾何的な群論入門といえるでしょう。この書籍の電子版が、文理学部の図書館経由で閲覧できます。諸君は全員 nu-login して、閲覧、そして制限付きのダウンロード印刷も可能です。是非、活用してください。

浅野啓三、永尾汎の『群論』のオリジナル版の出版は1965年とかなり古く、しかし、群論についての基本的な内容を網羅した良書です。そして、オンデマンド版として現在も入手可能です。図書館などで、閲覧され、各自にマッチされるなら、入手されるのも良いと思います。この書籍と同レベルの本では別に、大島勝『群論』（共立全書）があります。これは、図書館にはありますが、購入は難しいかもしれません。

『ホールの群論』は、群論の世界的な研究者によって書かれた非常に厳密でかつ深い内容を持った本です。もし、群論を専攻とされるなら、このような書籍から入門するのも良いでしょう．
成績評価の方法及び基準 授業内テスト(50%)、授業参画度(50%)
授業内中間試験、授業内最終試験をおこなう。

授業参画度は、授業内での演習の参加状況を、演習答案回収などでのリアクションペーパーの内容の状況で評価する。
授業参画度は演習問題へのとりくみなどを総合的に考慮します。
提出を求める出席票についてはその内容を込め、授業参画度として評価します．

A-3,A-4 の達成度は授業内中間、最終試験の解答状況で判定し、A-5 の達成度については講義中の演習とその机間指導にて判定する。
オフィスアワー 原則として，講義後に質問を受け付けますが，時間のないときには直接連絡先を交換して下さい。また、メールでの連絡には、Canvas LMS のメール連絡機能を用いて行い、質問に対応できる時間を確認してください。
備考 関連する内容が多いので，２年生前期開講の初等整数論の内容を理解している方が望ましい．
群論は「ガロア理論」にもつながっています。また，群準同型定理はすべての代数系に現れる準同型定理のひな型になります。
是非理解して下さい．

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