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曲線と曲面

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令和２年度以降入学者 曲線と曲面
教員名 池田和正
単位数    2 学年 3･4 開講区分 文理学部
科目群 数学科
学期 前期 履修区分 選択
授業形態 対面授業
授業の形態 対面授業
Canvas LMSコースID・コース名称 P07423A16　2024曲線と曲面（池田和正・前・火1）
授業概要 曲線と曲面の数学への入門的講義をおこなう. はじめに, 図形的な観点から高校3年の数IIIの微分法の復習をし, その応用として平面曲線の曲率について学ぶ. つぎに、空間曲線の曲率と捩率について学ぶ. 後半では空間内の曲面の接線や法線, 接平面について学び, 曲率を定義します. 最後に, 高校1年数Aの図形の性質で習ったオイラー数を復習し, ガウス・ボンネの定理を学びます. これはアティーヤ・シンガーの指数定理へと発展する重要な定理です.
授業のねらい・到達目標 ＜授業のねらい・到達目標＞
・曲線や曲面の扱いを通して、微分法の応用力をつける。写像や曲面を図形的、直観的に扱う練習を通して、空間認識能力（空間図形に対する能力）を身に付ける。
・展開図や貼り合わせという考え方について、数学的に正確に説明できる。

＜ディプロマポリシーとの関係＞
この科目は文理学部（学士（理学））のディプロマポリシー DP3,4,5,8 及びカリキュラムポリシー CP3,4,5,8に対応しています。

＜日本大学教育憲章との関係＞
・自らが獲得してきた数理科学的知識を基礎とし、その上で既存の知識にとらわれることなく、数理科学的根拠に基づいて論理的に考察することができる(A-3-3)。
・日常生活における現象に潜む数理科学的問題を発見し、専門的知識に基づいて解決案を作成できる(A-4-3)。
・新しい問題に取り組む意識を持ち、そのために必要な情報を収集することができる(A-5-2)。
・自分の学修経験の振り返りを継続的に行うことができる(A-8-1)。
授業の形式 講義
授業の方法 前半で講義を, 後半で小テストを行います. 模範解答を提示することでフィードバックします.
授業はプリントを配布してそれに沿ってすすめるので、予習復習をきちんとすること。具体的には授業計画を参照のこと.
メール等でのやり取りは, 本人確認が取れないので原則行いません. 事務を仲介して下さい.
授業計画
1 平面曲線, 曲線の長さ, 弧長パラメーター, 曲率のイメージについて学ぶ(A-3,A-4)
【事前学習】高校3年の数IIIで習った曲線の長さの公式を復習しておくこと(A-3) （2時間）
【事後学習】いろいろな平面曲線の接ベクトルや長さを計算してみること(A-4) （3時間）
【授業形態】対面授業
2 曲率の定義と曲率半径について学ぶ(A-3,A-4)
【事前学習】高校で習ったサイクロイド, アステロイド, カージオイドなどの概形を復習をしておくこと(A-3) （2時間）
【事後学習】弧長パラメーターで表されたいろいろな平面曲線の曲率を計算してみること(A-4) （3時間）
【授業形態】対面授業
3 いろいろな曲線の曲率について学ぶ(A-3,A-4)
【事前学習】曲率の公式にはどんなものがあるか調べておくこと(A-3) （2時間）
【事後学習】一般のパラメーターで表されたいろいろな平面曲線の曲率を計算してみること(A-4) （3時間）
【授業形態】対面授業
4 空間曲線の主法線ベクトル, 従法線ベクトル. 弧長パラメーターの場合の曲率, 捩率を学ぶ(A-3,A-4)
【事前学習】空間内の円や常螺旋など高校や大学1年で習った空間曲線を復習しておくこと(A-3) （3時間）
【事後学習】いろいろな空間曲線の長さや法線ベクトルを計算してみること(A-4) （2時間）
【授業形態】対面授業
5 フレネ・セレの公式. 一般のパラメーターの場合の曲率, 捩率について学ぶ(A-3, A-4)
【事前学習】フレネ・セレの公式とはなにか調べておくこと(A-3) （2時間）
【事後学習】いろいろな空間曲線の曲率や捩率を計算すること(A-4) （3時間）
【授業形態】対面授業
6 曲率と角, 曲面上の曲線について学ぶ(A-3, A-4)
【事前学習】高校2年の数Bで習った内積と大学1年の線形代数で習った外積について復習しておくこと(A-3) （2時間）
【事後学習】曲面上の曲線の性質についていろいろ調べ, 計算してみること(A-4) （3時間）
【授業形態】対面授業
7 捩率の復習, 曲面の切り口に現れる曲線, 平面曲線の回転数について学ぶ(A-3, A-4)
【事前学習】大学1年で習った空間内の曲面の法線ベクトルや接平面について復習しておくこと(A-3) （2時間）
【事後学習】空間曲線の曲率や捩率の種々の公式についてまとめておくこと陰関数定理の証明を復習すること(A-4) （3時間）
【授業形態】対面授業
8 中間試験とその解説(A-5,A-8)
【事前学習】ここまでの授業内容をよく復習しておくこと (A-5) （2時間）
【事後学習】解けなかった問題を解きなおすこと(A-8) （3時間）
【授業形態】対面授業
9 回転面, 第一基本量, 第一基本形式, 面積要素, 曲面積について学ぶ(A-3, A-4)
【事前学習】大学1年の微積で習った球面座標などの曲面のパラメーター表示を復習しておくこと(A-3) （2時間）
【事後学習】いろいろな曲面の第一基本量や面積要素を計算してみること(A-4) （3時間）
【授業形態】対面授業
10 第二基本量, 第二基本形式, 等温座標について学ぶ(A-3, A-4)
【事前学習】トーラスやその他の回転面について, パラメーター表示を考えてみること(A-3) （2時間）
【事後学習】いろいろな曲面の第二基本量や曲面上の曲線の加速度ベクトルの法線方向の成分を計算してみること(A-4) （3時間）
【授業形態】対面授業
11 法曲率, ワインガルテンの公式, 形作用素, 主曲率について学ぶ(A-3, A-4)
【事前学習】大学1年の線形代数で習った2次行列の固有値と固有方程式について復習しておくこと(A-3) （2時間）
【事後学習】いろいろな曲面に対して主曲率を計算してみること(A-4) （3時間）
【授業形態】対面授業
12 ガウス曲率, 平均曲率について学ぶ(A-3, A-4)
【事前学習】ガウス曲率と平均曲率の定義を調べておくこと(A-3) （2時間）
【事後学習】いろいろな曲面に対してガウス曲率と平均曲率を計算してみること(A-4) （3時間）
【授業形態】対面授業
13 ガウスの公式, ガウス・ボンネの定理, オイラー数について学ぶ(A-3, A-4)
【事前学習】高校1年数Aの平面図形で習ったオイラーの多面体定理について復習しておくこと(A-3) （2時間）
【事後学習】いろいろな曲面に対してガウス・ボンネの定理を確認してみること(A-3) （3時間）
【授業形態】対面授業
14 ガウスの驚嘆の定理, ガウスの公式, ワインガルテンの公式と可積分条件ついて学ぶ(A-3, A-4)
【事前学習】ガウスが如何なる事実に驚嘆したのか調べてみること(A-3) （3時間）
【事後学習】リーマンの曲率テンソルについて調べてみること(A-4) （3時間）
【授業形態】対面授業
15 期末試験とその解説 (A-5,A-8)
【事前学習】中間からの授業内容をよく復習しておくこと (A-5) （3時間）
【事後学習】解けなかった問題を解きなおすこと(A-8) （1時間）
【授業形態】対面授業
その他
教科書 なし
参考書 小林昭七 『曲線と曲面の微分幾何』 裳華房 1977年
小林真平 『曲面とベクトル解析 （日評ベーシック・シリーズ）』 日本評論社 2016年
なし
成績評価の方法及び基準 授業内テスト:中間試験と期末試験を評価する(66%)、授業参画度:予習状況と理解度, 議論の正確さを評価する.(34%)
試験では復習状況と議論の正確さ, 学修内容の理解度を中心に評価する。
授業内テストを通じて, (A-3,A-4)の達成度を評価し, 試験によって (A-5)の達成度を評価する。また, 事後学修への取り組みを通じて, (A-8)を評価する。
オフィスアワー 授業やその前後に積極的に質問して下さい.

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