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複素解析学

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令和２年度以降入学者 複素解析学
教員名 中石健太郎
単位数    2 学年 3･4 開講区分 文理学部
科目群 数学科
学期 前期 履修区分 選択
授業形態 対面授業（一部遠隔授業）
授業の形態 対面授業（オンデマンド型動画配信を2/15程度含む。）
Canvas LMSコースID・コース名称 P08023A19　2024複素解析学（中石健太郎・前・木4）
授業概要 微分積分学では変数・値が実数の範囲にある実関数の取り扱いを学んだが、これを複素数まで拡げた複素変数の複素関数についての微分・積分を学ぶ。
2次方程式の解でも分かるように実数の世界だけでは不完全な記述しかできないことも複素数の世界まで拡げると完全になる。関数についても複素の世界では驚くほど調和のとれた世界が成り立っている。
この複素解析学ではその隠されていた本質を記述するための道具を学ぶ。
授業のねらい・到達目標 ＜授業のねらい＞
複素数を使った諸計算（複素関数の微分・複素関数の積分など）を身に付ける。
正則関数に関する諸定理を理解し使い方を身に付ける。
一方、複素関数論は典型的な解析学の論理の宝庫でもあるので今後の学修にも役立つことを期待する。

＜到達目標＞
・複素数を使った四則演算ができる。
・複素数列の極限操作ができる。
・複素関数の微分ができる。
・複素積分ができる。
・コーシーの積分定理が応用できる。

＜ディプロマポリシーとの関係＞
この科目は文理学部（学士（理学））のディプロマポリシー DP3,4,5,8 及びカリキュラムポリシー CP3,4,5,8 に対応しています。

＜日本大学教育憲章との関係＞
・自らが獲得してきた数理科学的知識を基礎とし、その上で既存の知識にとらわれることなく、数理科学的根拠に基づいて論理的に考察することができる(A-3-3)。
・日常生活における現象に潜む数理科学的問題を発見し、専門的知識に基づいて解決案を作成できる(A-4-3)。
・新しい問題に取り組む意識を持ち、そのために必要な情報を収集することができる(A-5-2)。
・自分の学修経験の振り返りを継続的に行うことができる(A-8-1)。
授業の形式 講義
授業の方法 ①各回前半は教科書に沿った講義を行う。
②後半は講義に対応する演習問題に取り組み、希望者を募って黒板で発表してもらう（ミニ演習）。
発表回数に応じて加点されるが、成績評価上発表は必須とはしない。
③達成度を確認するために授業内テスト（中間・期末試験）を行う。

一部の講義は Canvas LMS を通じてオンデマンド教材を配信する。受講生はその教材を視聴し、学修する。
対面参加が困難な学生については、教員の許可を受けて、オンデマンド型教材で学修することができる。
フィードバックは個別にメールで返すか、Canvas LMS 上で全員で共有する。
授業計画
1 ガイダンス，複素数とは何か
【事前学習】シラバスを確認して授業全体の流れを把握しておくこと(A-5)。 （2時間）
【事後学習】複素数の演算規則に習熟しておくこと。テキストの演習問題に取り組むこと。 （2時間）
【授業形態】対面授業
2 複素数と極座標・オイラーの公式について学ぶ.
【事前学習】複素数の諸定義を確認しておくこと。 （2時間）
【事後学習】複素平面表示・極形式に慣れ親しんでおくこと。テキストの演習問題に取り組むこと （2時間）
【授業形態】対面授業
3 複素数の幾何学的意味と応用について学ぶ.
【事前学習】極形式による複素計算に習熟しておくこと。 （2時間）
【事後学習】平面幾何と複素数の対応を理解しておくこと。テキストの演習問題に取り組むこと （2時間）
【授業形態】対面授業
4 複素数の指数関数・三角関数
【事前学習】Mathematica等で複素関数をグラフィック表示することを考えてみること。 （2時間）
【事後学習】複素三角関数の性質を整理しておくこと。テキストの演習問題に取り組むこと （2時間）
【授業形態】対面授業
5 複素の対数関数について学ぶ.
【事前学習】微積における指数関数と対数関数の関係を見直しておくこと。 （2時間）
【事後学習】複素対数関数の性質について整理しておくこと。テキストの演習問題に取り組むこと （2時間）
【授業形態】対面授業
6 複素のベキ関数・複素数列の極限について学ぶ.
【事前学習】実変数の対数関数を復習しておくこと。 （2時間）
【事後学習】複素変数の数列の性質について整理しておくこと。テキストの演習問題に取り組むこと （2時間）
【授業形態】対面授業
7 中間試験とその解説(A-3,A-4)
【事前学習】試験範囲の授業内容を復習しておくこと。 （3時間）
【事後学習】友人と積極的に議論して解けなかった試験問題に取り組むこと。(A-8) （2時間）
【授業形態】対面授業
8 複素微分について学ぶ.
【事前学習】微分積分での数列・極限・連続などの概念を復習しておくこと。 （2時間）
【事後学習】微分積分での微分との類似点を整理しておくこと。テキストの演習問題に取り組むこと （2時間）
【授業形態】対面授業
9 コーシー・リーマン方程式について学ぶ.
【事前学習】実2変数関数の偏微分を復習しておくこと。 （2時間）
【事後学習】微分積分での微分との差異を整理しておくこと。テキストの演習問題に取り組むこと （2時間）
【授業形態】対面授業
10 正則関数の逆関数定理について学ぶ.
【事前学習】実2変数関数の逆関数定理を復習しておくこと （2時間）
【事後学習】正則関数の議論に慣れておくこと。テキストの演習問題に取り組むこと （2時間）
【授業形態】対面授業
11 平面の曲線と複素数値積分について学ぶ.
【事前学習】平面の位相を学んだことがあれば見直しておくこと。 （2時間）
【事後学習】複素数値をとる積分の計算ができるようにしておくこと。テキストの演習問題に取り組むこと （2時間）
【授業形態】対面授業
12 複素積分について学ぶ.
【事前学習】複素数値をとる積分を定義に従って計算できるようにしておくこと。 （2時間）
【事後学習】複素積分の計算に慣れておくこと。テキストの演習問題に取り組むこと。 （2時間）
【授業形態】対面授業
13 グリーンの公式とコーシーの積分定理について学ぶ.
【事前学習】ベクトル解析のグリーンの公式をしらべておくこと。 （2時間）
【事後学習】グリーンの公式の証明を理解しておくこと。テキストの演習問題に取り組むこと。 （2時間）
【授業形態】対面授業
14 期末試験とその解説(A-3,A-4)
【事前学習】試験範囲の授業内容を復習しておくこと。 （3時間）
【事後学習】友人と積極的に議論して解けなかった試験問題にも取り組むこと(A-8)。 （2時間）
【授業形態】対面授業
15 複素解析の展望：留数定理と定積分への応用について学ぶ. (A-3,A-4)
【事前学習】ここまでの講義内容を整理しておくこと。 （2時間）
【事後学習】テキストの演習問題に積極的に取り組むこと。(A-4,A-8) （2時間）
【授業形態】オンデマンド型授業
その他
教科書 今吉洋一 『複素関数概説 （数学基礎コース＝０３）』 サイエンス社 2013年 第17版
定価1600円（税別）。演習問題を解くことも大事な学修の一部ですので、持っていないと支障があります。
参考書 使用しない
成績評価の方法及び基準 授業内テスト:中間テストおよび期末テストを行い、その点数で評価(90%)、授業参画度:リアクションペーパーやオンデマンド教材の視聴状況で評価(10%)
ミニ演習での発表回数に応じて加点されるが、成績評価上ミニ演習での発表は必須とはしません。
対面参加が難しい学生の「授業内テスト」については別途相談致します。

・A-3,A-4の達成度は中間テスト、期末テストの解答状況にて判定し、A-5の達成度については演習発表および演習中のディスカッションの状況で判定する。またノート点検あるいは Canvas LMS 上の小テストを通じてA-8の達成度を確認する。
オフィスアワー Canvas LMS・メールを通じて質問を回収する。フィードバックは個別のメールで送るか、Canvas LMS上に掲示して全員で共有するようにする。
備考 微分積分の知識は必須である。
複素数の知識があれば望ましいが、複素数について学んだことがない前提ではじめる。
テキストの演習問題を授業外学習として自分で解いてみることを強く薦める。

尚、授業計画は受講生の理解度に応じて変更する可能性がある。

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