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代数学特論Ⅰ

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令和２年度以降入学者 代数学特論Ⅰ
教員名 下元数馬
単位数    2 課程 前期課程 開講区分 文理学部
科目群 地球情報数理科学専攻
学期 後期 履修区分 選択必修
授業形態 対面授業
Canvas LMSコースID・コース名称 X0266102　2024代数学特論Ⅰ（下元数馬・後・木1）
授業概要 Hilbert-Samuel関数と重複度の基礎について学ぶ。多項式環のイデアルを具体的に与えて計算方法に習熟する。また次数付き環に関する必要な準備も行う。代数幾何学的な側面についても述べる予定である。具体的にはLech予想の最新結果について学ぶ。
授業のねらい・到達目標 授業のねらい：
可換環論の先端の研究内容を理解するための知識と技法をマスターする。

到達目標：
・局所環上の加群と次数付き加群に関する諸概念を理解する。
・Hilbert-Samuel重複度の意味を理解する。計算方法に慣れる。
・Hilbert-Kunz重複度について理解する。
・CM列とUlrich列について理解する。
・Lech予想、正標数の理論への応用について触れる。
授業の形式 講義
授業の方法 原則として教員による講義形式で行うが，理解度を深めるために演習も行う。
対面での参加が原則であるが，許可を得て Zoom での閲覧も認める。
授業計画
1 環、イデアル、加群の復習と講義の目的を理解する
【事前学習】環とイデアルの定義について調べる。 （2時間）
【事後学習】授業の内容をまとめる。 （2時間）
【授業形態】対面授業
2 次数付き環と随伴次数環について学ぶ
【事前学習】次数付き環の定義と具体例について調べる。 （2時間）
【事後学習】授業の内容をまとめる。 （2時間）
【授業形態】対面授業
3 加群の長さと次数付き環のHilbert関数について学ぶ
【事前学習】Noether加群とArtin加群の定義を調べる。 （2時間）
【事後学習】授業の内容をまとめる。 （2時間）
【授業形態】対面授業
4 局所環の随伴次数環とHilbert関数について学ぶ
【事前学習】加群の長さの計算方法について調べる。 （2時間）
【事後学習】授業の内容をまとめる。 （2時間）
【授業形態】対面授業
5 局所環のHilbert-Samuel重複度を導入する
【事前学習】加群の長さの計算例を調べる。 （2時間）
【事後学習】授業の内容をまとめる。 （2時間）
【授業形態】対面授業
6 局所環の重複度に関する定理や公式について学ぶ（Part I）
【事前学習】重複度の意味を調べる。 （2時間）
【事後学習】授業の内容をまとめる。 （2時間）
【授業形態】対面授業
7 局所環の重複度に関する定理や公式について学ぶ（Part II）
【事前学習】重複度の応用例を探してくる。 （2時間）
【事後学習】授業の内容をまとめる。 （2時間）
【授業形態】対面授業
8 パラメーターイデアルの重複度について学ぶ
【事前学習】これまでの内容を復習する。 （2時間）
【事後学習】授業の内容をまとめる。 （2時間）
【授業形態】対面授業
9 イデアルの整閉包と重複度の関係について学ぶ
【事前学習】課題の問題を解く。 （2時間）
【事後学習】授業の内容をまとめる。 （2時間）
【授業形態】対面授業
10 Koszul複体と重複度（Part 1）
【事前学習】ホモロジー代数の初歩、複体の定義を調べる。 （2時間）
【事後学習】授業の内容をまとめる。 （2時間）
【授業形態】対面授業
11 Koszul複体と重複度（Part 2）
【事前学習】ホモロジー群の定義を調べる。 （2時間）
【事後学習】授業の内容をまとめる。 （2時間）
【授業形態】対面授業
12 重複度に関するSerreの公式
【事前学習】オイラー数の定義を調べる。 （2時間）
【事後学習】授業の内容をまとめる。 （2時間）
【授業形態】対面授業
13 正標数の可換環とHilbert-Kunzの重複度（Part 1）
【事前学習】Frobenius写像について調べる。 （2時間）
【事後学習】授業の内容をまとめる。 （2時間）
【授業形態】対面授業
14 正標数の可換環とHilbert-Kunzの重複度（Part 2）
【事前学習】Hilbert-Kunz重複度の具体例を計算する。 （2時間）
【事後学習】授業の内容をまとめる。 （2時間）
【授業形態】対面授業
15 重複度に関する最近の話題について
【事前学習】Hilbert-Samuel重複度とHilbert-Kunz重複度の関係について調べる。 （2時間）
【事後学習】授業の内容をまとめる。 （2時間）
【授業形態】対面授業
その他
教科書 使用しない
参考書 松村英之 『復刊：可換環論』 共立出版 2000年
W. Bruns and J. Herzog, Cohen-Macaulay rings, Cambridge, 1998, 2 edition
論文「Lim Ulrich sequences and Lech'c conjecture」L. Maを各自で入手して下さい。
成績評価の方法及び基準 レポート:議論の正確さと学修内容の理解度を評価する(30%)、授業参画度:毎回の質問などの積極性を授業参画度として評価する(70%)
オフィスアワー メールによるやり取りで決める。

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