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基礎数理特別研究Ⅱ
| 令和２年度以降入学者 | 基礎数理特別研究Ⅱ | ||||
|---|---|---|---|---|---|
| 教員名 | 吉田健一 | ||||
| 単位数 | 4 | 課程 | 前期課程 | 開講区分 | 文理学部 |
| 科目群 | 地球情報数理科学専攻 | ||||
| 学期 | 通年 | 履修区分 | 選択必修 | ||
| 授業形態 | 対面授業 |
|---|---|
| Canvas LMSコースID・コース名称 | X0826160 2024基礎数理特別研究Ⅱ（吉田健一・通・水5） |
| 授業概要 | 今後の研究に必要な可換環論の基礎理論（ホモロジカルな観点，Gorenstein 性と双対性，次数付き環，Buchsbaum 環)を学修する。 |
| 授業のねらい・到達目標 | ＜授業のねらい＞ 教員による「可換環論の基礎」の講義と演習・発表を経て、今後の研究に必要な可換環論のイデアル論・ホモロジー代数を身に付ける。 ＜到達目標＞ ・イデアルの定義を理解し，自分の言葉で説明できるようになる。 ・グラフや整数の性質を環やイデアルの言葉で理解し、説明できる。 ・可換環のCohen-Macaulay 性の定義を説明できる。 |
| 授業の形式 | 研究、ゼミ |
| 授業の方法 | 少人数のゼミ形式の講義である。 ・教員による講義を聴き、演習問題を解く。 ・自らテキストを読み，その自分の学修成果を口頭発表する。 ・発表内容についての議論の中で，理解を深め，自らの研究に活かせるようにする。 |
| 授業計画 | |
|---|---|
| 1 |
「入射加群の構造定理」について学修する。
【事前学習】教科書の第５章第３節を読み, 射影加群の例を考えておくこと。 （3時間） 【事後学習】ゼミでの発表をもとに，今回の内容を復習しまとめ直しておく。 （5時間） 【授業形態】対面授業 |
| 2 |
「Matlis の双対定理」について学修する。
【事前学習】教科書の第５章第３節を読み, Matlis の双対定理の具体例を考えておくこと。 （3時間） 【事後学習】ゼミでの発表をもとに，今回の内容を復習しまとめ直す。 （5時間） 【授業形態】対面授業 |
| 3 |
「正則局所環」について学修する。
【事前学習】教科書の第５章第４節を読み, 体や離散付置環が正則局所環であることを確認しておくこと。 （3時間） 【事後学習】ゼミでの発表をもとに，今回の内容を復習しまとめ直す。 （5時間） 【授業形態】対面授業 |
| 4 |
「平坦加群」について学修する。
【事前学習】教科書の第５章第６節を読み，射影加群は平坦であることを確認しておくこと。 （4時間） 【事後学習】ゼミでの発表をもとに，今回の内容を復習しまとめ直す。 （4時間） 【授業形態】対面授業 |
| 5 |
「Koszul 複体」について学修する。
【事前学習】教科書の第５章第６節を読み，正則列のKoszul 複体を計算しておくこと。 （4時間） 【事後学習】ゼミでの発表をもとに，今回の内容を復習しまとめ直す。 （4時間） 【授業形態】対面授業 |
| 6 |
「Cech 複体」について学修する。
【事前学習】教科書の第５章第６節を読み，Cech 複体を計算しておくこと。 （4時間） 【事後学習】ゼミでの発表をもとに，今回の内容を復習しまとめ直す。 （4時間） 【授業形態】対面授業 |
| 7 |
「局所コホモロジー」について学修する。
【事前学習】教科書の第5章７節を読み，局所コホモロジーについての発表の準備をしておく。 （4時間） 【事後学習】ゼミでの発表をもとに，今回の内容を復習しまとめ直す。 （4時間） 【授業形態】対面授業 |
| 8 |
「Peskine-Shpiro の複体に関する補題」を学修する。
【事前学習】教科書の第５章第８節を読み，acyclicity lemma の証明を確認しておくこと。 （4時間） 【事後学習】ゼミでの発表をもとに，今回の内容を復習しまとめ直す。 （4時間） 【授業形態】対面授業 |
| 9 |
「Hilbert-Burch の定理」を学修する。
【事前学習】教科書の第５章第９節を読み，半群環の定義イデアルにHibert-Burch の定理を適用してみること。 （4時間） 【事後学習】ゼミでの発表をもとに，今回の内容を復習しまとめ直す。 （4時間） 【授業形態】対面授業 |
| 10 |
「Bass 数」について学修する。
【事前学習】教科書第６章第１節を読み，Bass 数に関する Roberts の定理を調べておくこと。 （4時間） 【事後学習】ゼミでの発表をもとに，今回の内容を復習しまとめ直す。 （4時間） 【授業形態】対面授業 |
| 11 |
「Gorenstein 環」について学修する。
【事前学習】教科書の第6章２節を読み，Gorenstein 性についての発表の準備をしておく。 （4時間） 【事後学習】ゼミでの発表をもとに，今回の内容を復習しまとめ直す。 （4時間） 【授業形態】対面授業 |
| 12 |
「Gorenstein 局所環」の具体例について学修する。
【事前学習】Gorenstein 局所環の例とそうでない例を構成しておく。 （4時間） 【事後学習】ゼミでの発表をもとに，今回の内容を復習しまとめ直す。 （4時間） 【授業形態】対面授業 |
| 13 |
「標準加群と局所双対定理」について学修する。
【事前学習】教科書の第６章第３節を読んで，標準加群の例を構成しておく。 （4時間） 【事後学習】ゼミでの発表をもとに，今回の内容を復習しまとめ直す。 （4時間） 【授業形態】対面授業 |
| 14 |
「余次元３のGorenstein 環の構造定理」について学修する。
【事前学習】教科書の第６章第４節を読んで，発表の準備をしておく。 （4時間） 【事後学習】ゼミでの発表をもとに，今回の内容を復習しまとめ直す。 （4時間） 【授業形態】対面授業 |
| 15 |
これまでの総復習と演習問題
【事前学習】第１回から第14回までの内容を復習しておくこと。 （4時間） 【事後学習】これまでの総まとめをし，これからの研究に向けてまとめ直す。 （4時間） 【授業形態】対面授業 |
| 16 |
「次数付き環と次数付き加群」について学修する。
【事前学習】教科書の第7章1節を読み，次数付き環についての発表の準備をしておく。 （4時間） 【事後学習】ゼミでの発表をもとに，今回の内容を復習しまとめ直す。 （4時間） 【授業形態】対面授業 |
| 17 |
「H次数付き環」について学修する。
【事前学習】教科書の第7章２節を読み，次数付き環についての発表の準備をしておく。 （4時間） 【事後学習】ゼミでの発表をもとに，今回の内容を復習しまとめ直す。 （4時間） 【授業形態】対面授業 |
| 18 |
「標準加群と不変量a(R)」について学修する。
【事前学習】教科書の第7章３節を読み，次数付きの標準加群についての発表の準備をしておく。 （4時間） 【事後学習】ゼミでの発表をもとに，今回の内容を復習しまとめ直す。 （4時間） 【授業形態】対面授業 |
| 19 |
「Poincare 級数」について学修する。
【事前学習】教科書の第7章３節を読み，Poincare級数についての発表の準備をしておく。 （4時間） 【事後学習】ゼミでの発表をもとに，今回の内容を復習しまとめ直す。 （4時間） 【授業形態】対面授業 |
| 20 |
「半群環」について学修する。
【事前学習】教科書第７章第５節を読んで，半群環の対称性について確認しておくこと。 （4時間） 【事後学習】ゼミでの発表をもとに，今回の内容を復習しまとめ直す。 （4時間） 【授業形態】対面授業 |
| 21 |
「単体的複体とStanley-Reisner 環」について学修する。
【事前学習】教科書第７章第６節を読んで, Stanley-Reisner イデアルの求め方を確認しておくこと。 （4時間） 【事後学習】ゼミでの発表をもとに，今回の内容を復習しまとめ直す。 （4時間） 【授業形態】対面授業 |
| 22 |
「ASLとHodge代数」について学修する。
【事前学習】教科書第７章第５節を読んで，ASLについての発表の準備をしておくこと。 （4時間） 【事後学習】ゼミでの発表をもとに，今回の内容を復習しまとめ直す。 （4時間） 【授業形態】対面授業 |
| 23 |
「不変式環」について学修する。
【事前学習】教科書第７章第５節を読んで，不変式環の定義について確認しておくこと。 （4時間） 【事後学習】ゼミでの発表をもとに，今回の内容を復習しまとめ直す。 （4時間） 【授業形態】対面授業 |
| 24 |
「上表元」について学修する。
【事前学習】教科書第８章第１節を読んで，上表元の定義について確認しておくこと。 （4時間） 【事後学習】ゼミでの発表をもとに，今回の内容を復習しまとめ直す。 （4時間） 【授業形態】対面授業 |
| 25 |
「Euler級数と重複度」について学修する。
【事前学習】教科書の第８章２節を読み，重複度の計算をしておくこと。 （4時間） 【事後学習】ゼミでの発表をもとに，今回の内容を復習しまとめ直す。 （4時間） 【授業形態】対面授業 |
| 26 |
「重複度の結合公式」について学修する。
【事前学習】教科書の第８章３節を読み，重複度の結合公式についての発表の準備をしておく。 （4時間） 【事後学習】ゼミでの発表をもとに，今回の内容を復習しまとめ直す。 （4時間） 【授業形態】対面授業 |
| 27 |
「巴系イデアルの重複度とCohen-Macaulay性」について学修する。
【事前学習】教科書の第８章３節を読み，巴系の重複度を計算しておく。 （4時間） 【事後学習】ゼミでの発表をもとに，今回の内容を復習しまとめ直す。 （4時間） 【授業形態】対面授業 |
| 28 |
「FLCを持つ加群」について学修する。
【事前学習】教科書の第９章１節を読み，FLCを持つ加群についての発表の準備をしておく。 （4時間） 【事後学習】ゼミでの発表をもとに，今回の内容を復習しまとめ直す。 （4時間） 【授業形態】対面授業 |
| 29 |
「Buchsbaum 加群」について学修する。
【事前学習】教科書の第９章１節を読み，Buchsbaum 加群の例を考えておくこと。 （4時間） 【事後学習】ゼミでの発表をもとに，今回の内容を復習しまとめ直す。 （4時間） 【授業形態】対面授業 |
| 30 |
これまでの総復習と演習問題
【事前学習】これまでの復習をしながら，テキストの演習問題を解き，発表の準備をしておく。 （4時間） 【事後学習】これまでの総まとめをし，これからの研究に向けてまとめ直す。 （4時間） 【授業形態】対面授業 |
| その他 | |
|---|---|
| 教科書 | 後藤四郎・渡辺敬一 『可換環論』 日本評論社 2011年 第1版 |
| 参考書 | M.F.Atiyah and I.G.Macdonald, Intprduction to Commutative Algebra, Westview Press, 1969 後藤四郎 『可換環論の勘どころ （数学のかんどころ32）』 共立出版 2017年 第1版 なし |
| 成績評価の方法及び基準 | 授業参画度(100%) 授業参画度では, 口頭発表の内容, およびその準備状況を総合して評価します. |
| オフィスアワー | 授業前後の時間を含む随時。 |