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多変数微分積分学

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令和６年度以前入学者 多変数微分積分学
教員名 齋藤渓
単位数    2 学年    2 開講区分 文理学部
科目群 数学科
学期 後期 履修区分 選択
授業形態 対面授業
授業概要 本講義では多変数関数の解析学について学ぶ。微分積分学１・微分積分学２・微分積分学続論では実数上で定義された一変数の実数値関数を取り扱ったが、本講義では複数の独立変数を持つ実数値関数を対象とし、そのような関数に対して微分や積分の概念を学修する。
授業のねらい・到達目標 ＜授業のねらい＞
・公式としての暗記だけでなく定理の証明などから論理的な考え方を身に付ける。

＜到達目標＞
・多変数関数における極限や微分および積分の定義を明確に説明することができる。
・多変数関数における微分や積分の計算を円滑に行うことができる。

＜ディプロマポリシーとの関係＞
この科目は文理学部（学士（理学））のディプロマポリシー DP3,4,5,8 及びカリキュラムポリシー CP3,4,5,8 に対応しています。

＜日本大学教育憲章との関係＞
・自らが獲得してきた数理科学的知識を基礎とし、その上で既存の知識にとらわれることなく、数理科学的根拠に基づいて論理的に考察することができる(A-3-3)。
・日常生活における現象に潜む数理科学的問題を発見し、専門的知識に基づいて解決案を作成できる(A-4-3)。
・与えられた問題に取り組む気持ちを持つことができる(A-5-1)。
・自分の学修経験の振り返りを継続的に行うことができる(A-8-1)。
授業の形式 講義
授業の方法 講義形式と演習形式で行う。成績評価の要となる試験は全部で3回行い、学生の答案をもとに講評と解説を行う。
メールでの質問は随時受付け、各回のリアクションペーパーと共にフィードバックとして授業に反映する。
対面授業に参加できない場合は、担当教員に事前に許可を得ること。
その場合には、オンデマンド教材を配信することもある。
授業計画
1 ガイダンス，２変数関数のグラフと極限について学ぶ(A-3,A-4）.
【事前学習】１変数関数の極限と微分・積分および極座標変換を復習しておく． （2時間）
【事後学習】２変数関数の極限の定義について復習しておく． （2時間）
【授業形態】対面授業
2 多変数関数の偏微分と全微分について学ぶ(A-3,A-4）.
【事前学習】１変数関数の微分の定義を復習し，線形近似を理解しておく． （2時間）
【事後学習】多変数関数における偏微分・全微分の意味を復習しておく． （2時間）
【授業形態】対面授業
3 多変数関数の合成関数の偏微分について学ぶ(A-3,A-4）.
【事前学習】１変数関数の合成関数の微分を復習しておく． （2時間）
【事後学習】多変数関数の合成関数の微分定理の証明を復習しておく． （2時間）
【授業形態】対面授業
4 多変数のC^n級関数と偏微分の可換性について学ぶ(A-3,A-4）.
【事前学習】１変数のC^n級関数の定義を復習しておく． （2時間）
【事後学習】偏微分が可換ではないような例を復習しておく． （2時間）
【授業形態】対面授業
5 授業内試験とその解説(A-3,A-4)
【事前学習】第１～第４回の内容を復習しておく. （2時間）
【事後学習】友人と積極的に相談して, 解けなかった試験問題を解き直す(A-6,A-8). （2時間）
【授業形態】対面授業
6 多変数関数のテイラー展開・マクローリン展開について学ぶ(A-3,A-4）.
【事前学習】1変数関数のテイラーの定理について復習しておく. （2時間）
【事後学習】多変数関数のテイラーの定理の証明を復習しておく． （2時間）
【授業形態】対面授業
7 多変数関数の極値問題とHesse行列について学ぶ(A-3,A-4）.
【事前学習】１変数関数における極値問題を復習しておく． （2時間）
【事後学習】Hesse行列の符号判定により多変数関数の極値を求める定理の証明を復習しておく． （2時間）
【授業形態】対面授業
8 陰関数定理について学ぶ(A-3,A-4）.
【事前学習】多変数関数の方程式導くグラフの概形について復習しておく． （2時間）
【事後学習】陰関数定理の主張を復習しておく． （2時間）
【授業形態】対面授業
9 ラグランジュの未定乗数法による条件付き極値問題について学ぶ(A-3,A-4）.
【事前学習】極値問題と陰関数定理について復習しておく． （2時間）
【事後学習】ラグランジュの未定乗数法の計算とその証明について復習しておく． （2時間）
【授業形態】対面授業
10 授業内試験とその解説(A-3,A-4)
【事前学習】第６～第９回の内容を復習しておく. （2時間）
【事後学習】友人と積極的に相談して, 解けなかった試験問題を解き直す(A-6,A-8). （2時間）
【授業形態】対面授業
11 重積分について学ぶ(A-3,A-4）.
【事前学習】リーマン和による１変数関数の積分の定義を復習しておく． （2時間）
【事後学習】重積分の定義を復習し，線形性などの基本的な定理の証明を復習しておく． （2時間）
【授業形態】対面授業
12 累次積分について学ぶ(A-3,A-4）.
【事前学習】重積分について復習しておく． （2時間）
【事後学習】積分範囲を集合として記述し，具体的な累次積分が計算できるよう復習しておく． （2時間）
【授業形態】対面授業
13 重積分の置換積分について学ぶ(A-3,A-4）.
【事前学習】１変数関数の置換積分について復習しておく． （2時間）
【事後学習】多変数関数の置換積分の定理の証明を復習しておく． （2時間）
【授業形態】対面授業
14 重積分の広義積分について学ぶ(A-3,A-4）.
【事前学習】１変数関数の広義積分について復習しておく． （2時間）
【事後学習】重積分の広義積分の定義を復習し，近似増加列を具体的に求められるようにしておく． （2時間）
【授業形態】対面授業
15 授業内試験とその解説(A-3,A-4）
【事前学習】第１１～第１４回の内容を復習しておく(A-8) （2時間）
【事後学習】友人と積極的に相談して, 解けなかった試験問題を解き直す(A-6,A-8). （2時間）
【授業形態】対面授業
その他
教科書 高坂良史, 高橋雅朋, 加藤正和, 黒木場正城 『微分積分 増補版』 学術図書出版社 2018年 第　増補版
参考書 使用しない
成績評価の方法及び基準 授業内テスト:授業内に実施した試験の成績を評価します。(90%)、授業参画度(10%)
授業内テスト:遠隔による実施も考慮し、場合によっては告知の上、レポートで置き換える可能性がある(90%)、授業参画度:リアクションペーパー等を通じて授業への積極性を評価する(10%)。
A-3,A-4の達成度については授業内試験の答案を通して評価する。
A-5については発展的内容への取り組みの姿勢で評価する。
A-6については試験問題の解きなおしにおける友人達との議論の様子を見て評価する。
A-8についてはノートの整理状況を通して評価する。
オフィスアワー メールを用いて質疑応答を行う。

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