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幾何学特論Ⅰ

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令和３年度以降入学者 幾何学特論Ⅰ
教員名 鈴木正彦
単位数    2 課程 前期課程 開講区分 文理学部
科目群 地球情報数理科学専攻
学期 前期 履修区分 選択必修
授業形態 対面授業
授業概要 微分位相幾何学（多様体論の位相）の初歩を学ぶ。可微分多様体論は位相多様体に微分構造を入れて論ずるのが伝統的であるが、初心者には閾が高い。そこで、この講義ではユークリッド空間の部分多様体として多様体を捉え、その基本性質を解説し、興味深い応用について解説する。できる限り予備知識なしで理解できるように必要な知識を補充しつつ講義を進める。
授業のねらい・到達目標 可微分多様体の基礎の概要を学び、さらにその面白さを体感し、多様体への興味を喚起することを目的とする。
＜到達目標＞
可微分多様体とそのベクトル場について具体例をあげることができる。
可微分写像について説明できる。
サードの定理などの証明を理解できる。
授業の形式 講義
授業の方法 基本的には講義形式で授業を進めるが、理解度を確認するため、ときどき演習問題を課して授業中それを解く時間も与える。多様体の理解には、微分積分、線形代数、トポロジーなどの深い理解が必要となるが、それらを既知の知識として講義を進めるのではなく、必要な知識を講義中に詳しく解説しながら進めることを心がける。
授業計画
1 準備（以後必要な微積分の復習）
【事前学習】学部で学んだ微分積分の復習 （2時間）
【事後学習】講義内容の復習。授業中の課題の実行 （2時間）
【担当教員】鈴木
【授業形態】対面授業
2 準備（以後必要な線形代数の復習）
【事前学習】学部で学んだ線形代数の復習 （2時間）
【事後学習】講義内容の復習。授業中の課題の実行 （2時間）
【担当教員】鈴木
【授業形態】対面授業
3 準備（以後必要なトポロジーの復讐）
【事前学習】学部で学んだトポロジーの復習 （2時間）
【事後学習】講義内容の復習。授業中の課題の実行 （2時間）
【担当教員】鈴木
【授業形態】対面授業
4 可微分多様体と可微分写像
【事前学習】前回までの講義内容の復習 （2時間）
【事後学習】講義内容の復習。授業中の課題の実行 （2時間）
【担当教員】鈴木
【授業形態】対面授業
5 接空間と微分
【事前学習】前回までの講義内容の復習 （2時間）
【事後学習】講義内容の復習。授業中の課題の実行 （2時間）
【担当教員】鈴木
【授業形態】対面授業
6 逆写像定理と陰関数定理
【事前学習】前回までの講義内容の復習 （2時間）
【事後学習】講義内容の復習。授業中の課題の実行 （2時間）
【担当教員】鈴木
【授業形態】対面授業
7 正則値、代数学の基本定理の証明
【事前学習】前回までの講義内容の復習 （2時間）
【事後学習】講義内容の復習。授業中の課題の実行 （2時間）
【担当教員】鈴木
【授業形態】対面授業
8 サードの定理
【事前学習】前回までの講義内容の復習 （2時間）
【事後学習】講義内容の復習。授業中の課題の実行 （2時間）
【担当教員】鈴木
【授業形態】対面授業
9 ブラウワーの不動点定理
【事前学習】前回までの講義内容の復習 （2時間）
【事後学習】講義内容の復習。授業中の課題の実行 （2時間）
【担当教員】鈴木
【授業形態】対面授業
10 mod2の写像℃、そのホモトピー不変性
【事前学習】前回までの講義内容の復習 （2時間）
【事後学習】講義内容の復習。授業中の課題の実行 （2時間）
【担当教員】鈴木
【授業形態】対面授業
11 多様体の向き
【事前学習】前回までの講義内容の復習 （2時間）
【事後学習】講義内容の復習。授業中の課題の実行 （2時間）
【担当教員】鈴木
【授業形態】対面授業
12 一般的な写像度のホモトピー不変性
【事前学習】前回までの講義内容の復習 （2時間）
【事後学習】講義内容の復習。授業中の課題の実行 （2時間）
【担当教員】鈴木
【授業形態】対面授業
13 可微分多様体上のベクトル場
【事前学習】前回までの講義内容の復習 （2時間）
【事後学習】講義内容の復習。授業中の課題の実行 （2時間）
【担当教員】鈴木
【授業形態】対面授業
14 ポアンカレ・ホップの定理
【事前学習】前回までの講義内容の復習 （2時間）
【事後学習】講義内容の復習。授業中の課題の実行 （2時間）
【担当教員】鈴木
15 全体の見直しと今後の展望
【事前学習】前回までの講義内容の復習 （2時間）
【事後学習】講義内容の復習。授業中の課題の実行 （2時間）
【担当教員】鈴木
【授業形態】対面授業
その他
教科書 教科書は使用しない
参考書 必要な書籍は講義中に指定する
成績評価の方法及び基準 授業参画度:議論の正確さと学習内容の理解度を評価する。授業における質問などの積極性を授業参画度として評価する。(100%)
オフィスアワー 受講院生の都合に合わせて毎週ごとに指定する

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