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複素解析学

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令和２年度以降入学者 複素解析学
教員名 中石健太郎
単位数    2 学年 3･4 開講区分 文理学部
科目群 数学科
学期 前期 履修区分 選択
授業形態 対面授業（一部遠隔授業）
授業の形態 対面授業（オンデマンド型動画配信を1/15程度含む。）
授業概要 微分積分学では変数・値が実数の範囲にある実関数の取り扱いを学んだが、これを複素数まで拡げた複素変数の複素関数についての微分・積分を学ぶ。
2次方程式の解でも分かるように実数の世界だけでは不完全な記述しかできないことも複素数の世界まで拡げると完全になる。関数についても複素の世界では驚くほど調和のとれた世界が成り立っている。
この複素解析学ではその隠されていた本質を記述するための道具を学ぶ。
授業のねらい・到達目標 ＜授業のねらい＞
複素数を使った諸計算（複素関数の微分・複素関数の積分など）を身に付ける。
正則関数に関する諸定理を理解し使い方を身に付ける。
一方、複素関数論は典型的な解析学の論理の宝庫でもあるので今後の学修にも役立つことを期待する。

＜到達目標＞
・複素数を使った四則演算ができる。
・複素数列の極限操作ができる。
・複素関数の微分ができる。
・複素積分ができる。
・コーシーの積分定理が応用できる。

＜ディプロマポリシーとの関係＞
この科目は文理学部（学士（理学））のディプロマポリシー DP3,4,5,8 及びカリキュラムポリシー CP3,4,5,8 に対応しています。

＜日本大学教育憲章との関係＞
・自らが獲得してきた数理科学的知識を基礎とし、その上で既存の知識にとらわれることなく、数理科学的根拠に基づいて論理的に考察することができる(A-3-3)。
・日常生活における現象に潜む数理科学的問題を発見し、専門的知識に基づいて解決案を作成できる(A-4-3)。
・新しい問題に取り組む意識を持ち、そのために必要な情報を収集することができる(A-5-2)。
・自分の学修経験の振り返りを継続的に行うことができる(A-8-1)。
授業の形式 講義
授業の方法 ①各回前半は教科書に沿った講義を行う。
②後半は講義に対応する演習問題に取り組み、希望者を募って黒板で発表してもらう（ミニ演習）。
発表回数に応じて加点されるが、成績評価上発表は必須とはしない。
③達成度を確認するために授業内テスト（期末試験）を行う。

一部の講義は Canvas LMS を通じてオンデマンド教材を配信する。受講生はその教材を視聴し、学修する。
対面参加が困難な学生については、教員の許可を受けて、オンデマンド型教材で学修することができる。
フィードバックは個別にメールで返すか、Canvas LMS 上で全員で共有する。
授業計画
1 ガイダンス，複素数とは何か
【事前学習】シラバスを確認して授業全体の流れを把握しておくこと(A-5)。 （2時間）
【事後学習】複素数の演算規則に習熟しておくこと。テキストの演習問題に取り組むこと。 （2時間）
【授業形態】対面授業
2 複素数と極座標・オイラーの公式について学ぶ
【事前学習】テキスト9-17ページに目を通しておくこと。複素数の諸定義を確認しておくこと。 （2時間）
【事後学習】複素平面表示・極形式に慣れ親しんでおくこと。テキストの演習問題に取り組むこと。 （2時間）
【授業形態】対面授業
3 複素数の幾何学的意味と応用について学ぶ
【事前学習】テキスト18-32ページに目を通しておくこと。極形式による複素計算に習熟しておくこと。 （2時間）
【事後学習】平面幾何と複素数の対応を理解しておくこと。テキストの演習問題に取り組むこと。 （2時間）
【授業形態】対面授業
4 複素数の指数関数・三角関数・対数関数
【事前学習】テキスト33-45ページに目を通しておくこと。複素関数をグラフィック表示することを考えてみること。 （2時間）
【事後学習】複素三角関数の性質を整理しておくこと。テキストの演習問題に取り組むこと。 （2時間）
【授業形態】対面授業
5 複素微分・複素数列の極限について学ぶ
【事前学習】テキスト49-56ページに目を通しておくこと。複素対数関数の性質について整理しておくこと。 （2時間）
【事後学習】複素数列の性質について整理しておくこと。テキストの演習問題に取り組むこと。 （2時間）
【授業形態】対面授業
6 複素微分可能性とコーシー・リーマン方程式について学ぶ
【事前学習】テキスト57-64ページに目を通しておくこと。複素微分の定義を復習しておくこと。 （2時間）
【事後学習】複素微分可能性と実の場合の違いについて整理しておくこと。テキストの演習問題に取り組むこと。 （2時間）
【授業形態】対面授業
7 複素関数の逆関数定理について学ぶ
【事前学習】テキスト57-70,77-80ページに目を通しておくこと。コーシー・リーマン方程式を復習しておくこと。 （3時間）
【事後学習】複素平面での曲線について復習しておくこと。テキストの章末問題にも取り組むこと。 （2時間）
【授業形態】対面授業
8 複素積分とグリーンの公式について学ぶ
【事前学習】テキスト81-90ページに目を通しておくこと。複素平面での曲線を復習しておくこと。 （2時間）
【事後学習】複素積分の計算に十分習熟しておくこと。テキストの演習問題に取り組むこと。 （2時間）
【授業形態】対面授業
9 コーシーの積分定理について学ぶ
【事前学習】テキスト91-94,102-104ページに目を通しておくこと。グリーンの公式の意味を復習しておくこと。 （2時間）
【事後学習】コーシーの積分定理の使い方に習熟しておくこと。テキストの演習問題に取り組むこと。 （2時間）
【授業形態】対面授業
10 コーシーの積分公式とその応用について学ぶ
【事前学習】テキスト105-112ページに目を通しておくこと。合成関数公式を使った複素積分に慣れておくこと。 （2時間）
【事後学習】積分公式の仮定を確認する習慣をつけること。テキストの演習問題に取り組むこと。 （2時間）
【授業形態】対面授業
11 正則関数の諸定理・ローラン展開について学ぶ
【事前学習】テキスト113-116,129-132ページに目を通しておくこと。例題1.5を見ておくこと。 （2時間）
【事後学習】講義で扱わなかった章も読んでおくこと。テキストの演習問題に取り組むこと。 （2時間）
【授業形態】対面授業
12 留数定理について学ぶ
【事前学習】テキスト133-139ページに目を通しておくこと。ローラン展開が計算できるようにしておくこと。 （2時間）
【事後学習】留数計算に慣れておくこと。テキストの演習問題に取り組むこと。 （2時間）
【授業形態】対面授業
13 期末試験を実施する（※解説は翌週返却時に行う）
【事前学習】試験範囲の授業内容を復習しておくこと。 （5時間）
【事後学習】試験で解かなかった問題にも取り組んでおくこと。 （1時間）
【授業形態】対面授業
14 期末試験の返却と解説
【事前学習】試験問題を見直しておくこと。 （1時間）
【事後学習】講義で扱われなかったテキストのトピックに積極的に取り組むこと。(A-4,A-8)。 （2時間）
【授業形態】対面授業
15 複素解析の展望：留数定理と定積分への応用について学ぶ (A-3,A-4)
【事前学習】留数定理について復習しておくこと。 （1時間）
【事後学習】様々な定積分の計算に演習問題を通じて馴染んでおくこと。 （3時間）
【授業形態】オンデマンド型授業
その他
教科書 今吉洋一 『複素関数概説 （数学基礎コース＝０３）』 サイエンス社 2013年 第17版
定価1600円（税別）。演習問題を解くことも大事な学修の一部ですので、持っていないと支障があります。

※同じようなタイトルのテキストが沢山あるので注意すること。
参考書 使用しない
成績評価の方法及び基準 授業内テスト:期末テストを行い、その点数で評価(80%)、授業参画度:リアクションペーパーやオンデマンド教材の視聴状況で評価(20%)
ミニ演習での発表回数に応じて加点されるが、成績評価上ミニ演習での発表は必須とはしません。
対面参加が難しい学生の「授業内テスト」については別途相談致します。

・A-3,A-4の達成度は中間テスト、期末テストの解答状況にて判定し、A-5の達成度については演習発表および演習中のディスカッションの状況で判定する。またノート点検あるいは Canvas LMS 上の小テストを通じてA-8の達成度を確認する。
オフィスアワー Canvas LMS・メールを通じて質問を回収する。フィードバックは個別のメールで送るか、Canvas LMS上に掲示して全員で共有するようにする。
備考 微分積分の知識は必須である。
複素数の知識があれば望ましいが、複素数について学んだことがない前提ではじめる。
テキストの演習問題を授業外学習として自分で解いてみることを強く薦める。

尚、授業計画は受講生の理解度に応じて変更する可能性がある。

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