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ホモロジー論

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令和２年度以降入学者 ホモロジー論
教員名 大関一秀
単位数    2 学年 3･4 開講区分 文理学部
科目群 数学科
学期 前期 履修区分 選択
授業形態 対面授業
授業の形態 対面授業(状況に応じて遠隔授業との併用で進める)
授業概要 現代の可換環論はホモロジー代数を導入して以降、急速な発展をしている。本講義では序盤に可換環とイデアルついて復習をした上で、中盤にはネーター環およびアルティン環の理論について学修する。終盤では、環上の加群について解説した上で、ホモロジー代数の理論の導入を行い、可換環論におけるそれらの役割について学ぶ。
授業のねらい・到達目標 ＜授業のねらい・到達目標＞
現代可換環論を研究する上で必須の概念であるネーター環の基礎理論を理解する。ネーター環の理論は可換環論のみならず多くの分野で活用されており、その特徴と役割について説明出来るようになる。また、環上の加群はベクトル空間の自然な拡張であり、どの様な数学を学ぶにしても知っておくべき内容であり、それらの手法を活用出来るようになる。
代数学は言語としての性格を持ち合わせており、抽象的な内容を具体例を通じて理解する事が肝要である。
・代数学の抽象的な内容を具体例を通して説明できる。

＜ディプロマポリシーとの関係＞
この科目は, 文理学部（学士（理学））のディプロマポリシー DP3,4,5,8 及びカリキュラムポリシー CP3,4,5,8に対応しています。


＜日本大学教育憲章との関係＞
・自らが獲得してきた数理科学的知識を基礎とし、その上で既存の知識にとらわれることなく、数理科学的根拠に基づいて論理的に考察することができる(A-3-3)。
・日常生活における現象に潜む数理科学的問題を発見し、専門的知識に基づいて解決案を作成できる(A-4-3)。
・新しい問題に取り組む意識を持ち、そのために必要な情報を収集することができる(A-5-2)。
・自分の学修経験の振り返りを継続的に行うことができる(A-8-1)。
授業の形式 講義、演習
授業の方法 授業の内容がレポート課題に直結するので毎回ノートをとり予習復習すること。
授業の終盤に演習を実施することもある。
提出や教材の受け渡しは主にCanvasLMSを通じて行う。課題の提出方法については授業内で告知する。
講義中にレポート問題の主要部分の解説（フィードバック）を行う。
授業計画
1 本講義内容や進め方、可換環およびネーター環についての概要について理解する(A-3,A-4)
【事前学習】可換環の定義と具体例について調べてをしておくこと （2時間）
【事後学習】今回のノートを整理しておくこと （2時間）
【授業形態】対面授業
2 可換環の基礎理論について学修する (A-3,A-4)
【事前学習】環準同型や部分環について調べておくこと （2時間）
【事後学習】今回のノートを整理しておくこと （2時間）
【授業形態】対面授業
3 イデアルについて学修する (A-3,A-4)
【事前学習】イデアルについて定義と基本性質を確認をしておくこと （2時間）
【事後学習】今回のノートを整理しておくこと （2時間）
【授業形態】対面授業
4 整数環について学修する (1) (A-3,A-4)
【事前学習】整数環について調べておくこと （2時間）
【事後学習】今回のノートを整理しておくこと （2時間）
【授業形態】対面授業
5 整数環について学修する (2) (A-3,A-4)
【事前学習】前回学修した整数環の理論を復習すること （2時間）
【事後学習】今回のノートを整理しておくこと （2時間）
【授業形態】対面授業
6 剰余環について学修する (A-3,A-4)
【事前学習】同値関係について調べておくこと （2時間）
【事後学習】今回のノートを整理しておくこと （2時間）
【授業形態】対面授業
7 授業内試験（中間試験）とその解説(A-3,A-4)
【事前学習】第6回までの内容を復習すること （2時間）
【事後学習】中間試験の問題を解き直し、関連する内容を復習する(A-8) （2時間）
【授業形態】対面授業
8 これまでの復習とまとめ (A-3,A-4)
【事前学習】第7回目までの内容を纏めておくこと （2時間）
【事後学習】課題をレポートに纏めて提出 （4時間）
【授業形態】対面授業
9 分数化について学修する (A-3,A-4)
【事前学習】体に関する理論を復習の上で，分数化について調べておくこと （2時間）
【事後学習】今回のノートを整理しておくこと （2時間）
【授業形態】対面授業
10 環上の加群について学修する ～定義と基本性質 (A-3,A-4)
【事前学習】加群の定義と基本性質について確認をしておくこと （2時間）
【事後学習】今回のノートを整理しておくこと （2時間）
【授業形態】対面授業
11 環上の加群の諸性質について学修する (A-3,A-4,A-5)
【事前学習】加群の線形写像および部分加群について調べておくこと （2時間）
【事後学習】今回のノートを整理しておくこと （2時間）
【授業形態】対面授業
12 ネーター加群とアルティン加群について学ぶ（1）～ネーター加群の定義と特徴付け (A-3,A-4)
【事前学習】ネーター加群とアルティン加群の定義と歴史について確認をしておくこと （2時間）
【事後学習】今回のノートを整理しておくこと （2時間）
【授業形態】対面授業
13 ネーター加群とアルティン加群について学ぶ（2）～ネーター加群の基礎理論とアルティン加群との関係 (A-3,A-4)
【事前学習】ネーター加群とアルティン加群の関係について確認をしておくこと （2時間）
【事後学習】今回のノートを整理しておくこと （2時間）
【授業形態】対面授業
14 授業内試験（期末試験）とその解説(A-3,A-4)
【事前学習】第9回～13回の内容を復習すること （4時間）
【事後学習】期末試験の問題を解き直し、関連する内容を復習する(A-8) （2時間）
【授業形態】対面授業
15 まとめと復習(A-8)
【事前学習】第14回までに学修した内容を纏めておくこと （2時間）
【事後学習】課題をレポートに纏めて提出 （4時間）
【授業形態】対面授業
その他
教科書 教科書は特に指定しない。
参考書 参考書は特に指定はしないが、受講者の理解度等によって、講義中に指定することもある。
成績評価の方法及び基準 レポート:中間試験と期末試験に加えレポートを出題する。課題に対する記述や表現、論理の正確さなどを評価する。(30%)、授業内テスト:中間試験と期末試験を実施する。(60%)、授業参画度:演習への参加状況により評価する。(10%)
授業の残り時間に応じて演習を実施する。授業内で扱えなかった問題をレポート課題として出す。
オフィスアワー 講義終了後に質問を受け付ける。その他に質問がある場合は、適宜相談をして決める。
備考 CanvasLMSにおいて必要な教材を配布する。但し、課題の提出方法については授業内で告知する。

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