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代数学特論Ⅰ
| 令和５年度以降入学者 | 代数学特論Ⅰ | ||||
|---|---|---|---|---|---|
| 教員名 | 遠藤直樹 | ||||
| 単位数 | 2 | 課程 | 前期課程 | 開講区分 | 文理学部 |
| 科目群 | 地球情報数理科学専攻 | ||||
| 学期 | 前期 | 履修区分 | 選択必修 | ||
| 授業形態 | 対面授業 |
|---|---|
| 授業概要 | Cohen-Macaulay環は現代可換環論の中核を成す研究対象である。イデアル論の観点から見ると, 高次元のCohen-Macaulay環論は, 謂わば1次元Noether整域の理論の高次元版であり, 1次元の環に対して成立する端麗で特徴的な現象を, 正則列の概念を基盤に, ホモロジー代数を武器として高次元に拡張したものと捉えることができる。加えて, 1次元Cohen-Macaulay環論の源流の1つはJ. LipmanによるArf環の理論にあり, イデアルの節減や安定性, blow-up代数, 整閉イデアルの構造など, その後に可換環論の主要課題となった多様な話題の萌芽が既にArf環の理論の中に見出される。以上の背景を踏まえ, 本科目では, イデアルの節減や上表元の理論の学修を通して, Arf環に関する基礎理論を学ぶ。 |
| 授業のねらい・到達目標 | ＜授業のねらい＞ イデアルの節減や環と加群の重複度, Arf環に対する基本的事項を身に付ける。 ＜到達目標＞ 重複度の計算に習熟し, またArf環の豊富な具体例を提示することができる。 |
| 授業の形式 | 講義 |
| 授業の方法 | ① 講義は基本的に対面で行う。 ② 初回授業時にレポート課題を出題する。レポート課題の解答例は, 返却時に配布することでフィードバックする。 ③ オフィスアワーでの質問の機会を設ける。また, emailでの質問にも対応する。 |
| 授業計画 | |
|---|---|
| 1 |
環と加群の重複度
【事前学習】線形代数と環論の復習 （2時間） 【事後学習】講義内容を纏め, レポート課題に取り組む。 （3時間） 【授業形態】対面授業 |
| 2 |
イデアルの節減
【事前学習】環と加群の重複度の復習 （2時間） 【事後学習】講義内容を纏め, レポート課題に取り組む。 （3時間） 【授業形態】対面授業 |
| 3 |
Blow-up代数
【事前学習】イデアルの節減の復習 （2時間） 【事後学習】講義内容を纏め, レポート課題に取り組む。 （3時間） 【授業形態】対面授業 |
| 4 |
上表元
【事前学習】Blow-up代数の復習 （2時間） 【事後学習】講義内容を纏め, レポート課題に取り組む。 （3時間） 【授業形態】対面授業 |
| 5 |
巴系イデアルと重複度
【事前学習】上表元の復習 （2時間） 【事後学習】講義内容を纏め, レポート課題に取り組む。 （3時間） 【授業形態】対面授業 |
| 6 |
Arf環の定義と例
【事前学習】巴系イデアルと重複度の復習 （2時間） 【事後学習】講義内容を纏め, レポート課題に取り組む。 （3時間） 【授業形態】対面授業 |
| 7 |
Arf環の基本的性質
【事前学習】Arf環の定義と例の復習 （2時間） 【事後学習】講義内容を纏め, レポート課題に取り組む。 （3時間） 【授業形態】対面授業 |
| 8 |
弱Arf環の定義と例
【事前学習】Arf環の基本的性質の復習 （2時間） 【事後学習】講義内容を纏め, レポート課題に取り組む。 （3時間） 【授業形態】対面授業 |
| 9 |
弱Arf環の基本的性質
【事前学習】弱Arf環の定義と例の復習 （2時間） 【事後学習】講義内容を纏め, レポート課題に取り組む。 （3時間） 【授業形態】対面授業 |
| 10 |
環のstrict閉包とstrictly closed環
【事前学習】弱Arf環の基本的性質の復習 （2時間） 【事後学習】講義内容を纏め, レポート課題に取り組む。 （3時間） 【授業形態】対面授業 |
| 11 |
Zariski予想
【事前学習】環のstrict閉包とstrictly closed環の復習 （2時間） 【事後学習】講義内容を纏め, レポート課題に取り組む。 （3時間） 【授業形態】対面授業 |
| 12 |
弱Arf閉包
【事前学習】Zariski予想の復習 （2時間） 【事後学習】講義内容を纏め, レポート課題に取り組む。 （3時間） 【授業形態】対面授業 |
| 13 |
不変式環と行列式環のArf性
【事前学習】弱Arf閉包の復習 （2時間） 【事後学習】講義内容を纏め, レポート課題に取り組む。 （3時間） 【授業形態】対面授業 |
| 14 |
Arf環上の反射的加群圏
【事前学習】不変式環と行列式環のArf性の復習 （2時間） 【事後学習】講義内容を纏め, レポート課題に取り組む。 （3時間） 【授業形態】対面授業 |
| 15 |
復習とまとめ
【事前学習】Arf環上の反射的加群圏の復習 （2時間） 【事後学習】この講義で学修した内容全般を整理し, 理解しておくこと。 （3時間） 【授業形態】対面授業 |
| その他 | |
|---|---|
| 教科書 | 使用しない |
| 参考書 | 松村 英之 『復刊 可換環論』 共立出版 2000年 第1版 W. Bruns and J. Herzog 『Cohen-Macaulay rings』 Cambridge University Press 1997年 第2版 後藤四郎, 渡辺 敬一 『可換環論』 日本評論社 2011年 第1版 |
| 成績評価の方法及び基準 | レポート(70%)、授業参画度(30%) |
| オフィスアワー | 講義終了後やお昼休みの時間に質問に対応する。また, emailでの質問も歓迎する。 |