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解析学特論Ⅰ
| 令和５年度以降入学者 | 解析学特論Ⅰ | ||||
|---|---|---|---|---|---|
| 教員名 | 加藤伸幸 | ||||
| 単位数 | 2 | 課程 | 前期課程 | 開講区分 | 文理学部 |
| 科目群 | 地球情報数理科学専攻 | ||||
| 学期 | 前期 | 履修区分 | 選択必修 | ||
| 授業形態 | 対面授業 |
|---|---|
| 授業概要 | 熱伝導方程式に代表される放物型偏微分方程式の古典的な解について考察する. 近年の偏微分方程式の研究では, 関数解析の内容を活用して解(弱解)の存在を保証し, その一意性や正則性解析が行われるが, それまではどのようにして解を探してきたかに焦点を当てる. |
| 授業のねらい・到達目標 | <授業のねらい> 微積分の内容を駆使して, 偏微分方程式の古典的な解を構成し, その一意性を保証する. 更に, 現代的なアプローチへの橋渡しを行う. <到達目標> ・熱伝導現象と放物型偏微分方程式を紐付けられる. ・古くから知られた方法で特殊な構造をした解を構成できる. ・古典的な解の構成に必要な計算を行うことができる. ・現代的なアプローチを通じて解の意味を弱める目的を理解できる. |
| 授業の形式 | 講義 |
| 授業の方法 | (1) 各回, 講義資料を配付し, その内容を解説しながら討論を交える. (2) 講義中に出題される「問題」に可能な範囲で解答し, 第15回講義終了までにレポートとして提出する. ※ 対面での受講が困難な場合, Zoom等で参加することができます. 該当期間・事由を連絡すること. 講義後, リアクションペーパーを提出(翌週まで). |
| 授業計画 | |
|---|---|
| 1 |
熱伝導方程式の導出
【事前学習】多変数関数の微分積分 （3時間） 【事後学習】熱伝導方程式を満たす関数を探してみる. （1時間） 【授業形態】対面授業 |
| 2 |
変数分離法と重ね合わせの原理
【事前学習】常微分方程式の解法を復習する. （3時間） 【事後学習】関数列が持つ2つの意味の収束を明確にする. （2時間） 【授業形態】対面授業 |
| 3 |
Fourier変換による解の構成
【事前学習】Fourier(逆)変換, 2関数の合成積 （3時間） 【事後学習】Fourier変換について理解できていない項目を調べる. （2時間） 【授業形態】対面授業 |
| 4 |
基本解の定義と例
【事前学習】関数列の収束性 （2時間） 【事後学習】具体例を用いて基本解単独の性質を満たすことを確認する. （2時間） |
| 5 |
基本解の性質から派生する基礎事項 (1): 初期条件を満たす関数の構成と有限時刻への極限
【事前学習】基本解単独の性質, 2関数の合成積 （2時間） 【事後学習】積分と微分の順序交換はいかにしてできたかを確認する. （2時間） 【授業形態】対面授業 |
| 6 |
基本解の性質から派生する基礎事項 (2): 境界条件を満たす関数の構成
【事前学習】解の構成方法を予測する. （2時間） 【事後学習】基本解を用いて定義された関数の構造を把握する. （2時間） 【授業形態】対面授業 |
| 7 |
基本解の性質から派生する基礎事項 (3): (2)で構成した関数が偏微分方程式を満たすことの証明
【事前学習】関数のHoelder連続性 （2時間） 【事後学習】第6回講義内容と合わせて, 内容全体を説明できるようにする. （2時間） 【授業形態】対面授業 |
| 8 |
放物型偏微分方程式の一意可解性 (1): 一意性
【事前学習】放物型偏微分方程式の基本解 （2時間） 【事後学習】常微分方程式の一意可解性定理との相違点を確認する. （2時間） 【授業形態】対面授業 |
| 9 |
放物型偏微分方程式の一意可解性 (2): 可解性
【事前学習】これまでに説明してきた諸定理を整理する. （2時間） 【事後学習】近似幅による計算方法の違いを説明できるようにする. （2時間） 【授業形態】対面授業 |
| 10 |
放物型偏微分方程式に対する最大値原理
【事前学習】多変数ベクトル値関数の微分積分, 最大値を取るための条件 （2時間） 【事後学習】最大値原理の内容を2次元領域でイメージする. （2時間） 【授業形態】対面授業 |
| 11 |
放物型偏微分方程式の解の滑らかさ
【事前学習】基本解の諸性質を整理する. （2時間） 【事後学習】滑らかだが解析的でない関数の例を探す. （2時間） 【授業形態】対面授業 |
| 12 |
Galerkinの方法による解の構成
【事前学習】Hilbert空間 （2時間） 【事後学習】古典的な解との相違点を確認する. （2時間） 【授業形態】対面授業 |
| 13 |
変分法による解の構成 (1): 離散Morse流の構成
【事前学習】上限と下限, Bolzano-Weierstrassの定理, 連続関数の最大値原理 （3時間） 【事後学習】関数と汎関数の違いを確認する. （2時間） 【授業形態】対面授業 |
| 14 |
変分法による解の構成 (2): 離散Morse流の極限
【事前学習】離散Morse流の性質を確認する. （2時間） 【事後学習】Galerkinの方法による解と性質を比較する. （1時間） 【授業形態】対面授業 |
| 15 |
まとめと補足
【事前学習】本科目の講義内容を振り返る （2時間） 【事後学習】偏微分方程式の研究論文を検索する. （1時間） 【授業形態】対面授業 |
| その他 | |
|---|---|
| 教科書 | 使用しない |
| 参考書 | 伊藤清三 『偏微分方程式 （新数学シリーズ 26）』 培風館 1966年 第1版 現代的な解析について適宜, 論文を紹介する. |
| 成績評価の方法及び基準 | レポート:提出されたレポートの解答状況で評価する.(20%)、授業参画度:講義中の討論への取り組み姿勢で評価する.(80%) レポート答案投稿窓口をCanvas LMSに設け(回数制限なし)，採点済み答案を投稿先と同じページに返します． |
| オフィスアワー | 水曜日3限 本館5F 非常勤講師オフィスアワー室にて |