基礎数理特別研究Ⅰ

令和５年度以降入学者	基礎数理特別研究Ⅰ
教員名	山浦義彦
単位数	4	課程	前期課程	開講区分	文理学部
科目群	地球情報数理科学専攻
学期	通年	履修区分	選択必修

授業形態	対面授業
授業概要	前期は集合論をあらためて復習する. ここで学ぶことは, 後期の位相空間の勉強の基礎の位置づけである. 後期は位相空間の定義と性質を学ぶ. 位相空間がユークリッド空間の抽象化によって定義されることを理解し, その諸性質もまたユークリッド空間上での定理を拡張する方向で議論が進むことを学ぶ. この授業で学ぶことは関数解析学の勉強の基礎となる.
授業のねらい・到達目標	集合の扱いを復習したのちに, 集合に「位相」という構造を入れることを理解し, 距離空間を具体的に扱えるようにすることができる。さらに, 線形空間に位相の概念を導入することにより, ノルム空間が定義され, 扱いやすさのために完備性を仮定した Banach 空間という枠組みがあることを理解することができる。
授業の形式	研究、ゼミ
授業の方法	少人数のゼミ形式の講義である. 毎回の講義内容について学生に自分の勉強成果をホワイトボードを用いて, 口頭発表してもらう. その際に, 理解が不十分な点を指摘したり, 問題を出題したりする. また修士論文作成に向けたアドバイスを随時行う.

授業計画
1	集合の概念【事前学習】高校で学んだ集合の扱いを思い出すこと. （4時間）【事後学習】高校数学の集合と大学数学での集合の扱いの違いをまとめておくこと. （4時間）【授業形態】対面授業
2	集合の演算【事前学習】集合の演算をベン図で説明できるようにすること. （4時間）【事後学習】ベン図では扱えない演算に関する証明を理解すること. （4時間）【授業形態】対面授業
3	対応, 写像【事前学習】関数の定義を確認しておくこと. （4時間）【事後学習】関数の定義を抽象化した概念が写像の概念であることを理解すること. （4時間）【授業形態】対面授業
4	全射, 単射【事前学習】全射性, 単射性をベン図で理解しておくこと. （4時間）【事後学習】写像の全射性, 単射性およびそれらの証明方法を理解すること. （4時間）【授業形態】対面授業
5	逆対応【事前学習】逆関数についてまとめておくこと. （4時間）【事後学習】写像に対しても逆写像の概念が定義できることを理解すること. （4時間）【授業形態】対面授業
6	集合族の和集合, 共通集合【事前学習】2つの集合の和集合, 共通集合の定義を復習しておくこと. （4時間）【事後学習】2つの集合の和集合, 共通集合の定義を復習しておくこと. （4時間）【授業形態】対面授業
7	選出公理【事前学習】有限集合と無限集合の扱いの違いをまとめておくこと. （4時間）【事後学習】選出公理の意味と意義を理解すること. （4時間）【授業形態】対面授業
8	同値関係【事前学習】分数の「約分」の意味を考えておくこと. （4時間）【事後学習】同値関係の定義と, 同値類を理解すること. （4時間）【授業形態】対面授業
9	集合の濃度【事前学習】写像の全単射性を復習しておくこと. （4時間）【事後学習】集合の濃度の概念を理解すること. （4時間）【授業形態】対面授業
10	Bernsteinの定理【事前学習】集合の濃度についてまとめておくこと. （4時間）【事後学習】Bernstein の定理の証明をノートに書き下し理解すること. （4時間）【授業形態】対面授業
11	可算集合, 非可算集合【事前学習】集合の濃度について復習しておくこと. （4時間）【事後学習】可算集合, 非可算集合の例をノートにまとめておくこと. （4時間）【授業形態】対面授業
12	順序集合, 極大極小【事前学習】微分積分学で学んだ上限, 下限の考え方が実数の大小に基づいていたことを確認すること.こと. （4時間）【事後学習】抽象的な「順序」の概念を理解すること. （4時間）【授業形態】対面授業
13	整列可能定理【事前学習】集合の元の順序について復習しておくこと. （4時間）【事後学習】整列可能定理の意義を理解すること（4時間）【授業形態】対面授業
14	Zorn の補題【事前学習】順序集合の極大極小の概念を復習しておくこと. （4時間）【事後学習】Zorn の補題の意義をまとめておくこと. （4時間）【授業形態】対面授業
15	集合論総括【事前学習】前期に学んだ定理の主張と意味をまとめておくこと. （4時間）【事後学習】定理の証明概略を説明できるようにすること. （4時間）【授業形態】対面授業
16	ユークリッド空間の距離と位相【事前学習】これまで学んだ開集合と閉集合について復習しておくこと. （4時間）【事後学習】開集合系の性質を理解すること. （4時間）【授業形態】対面授業
17	開核, 閉包の特徴づけ【事前学習】開集合系の復習をすること. （4時間）【事後学習】開核, 閉包に関する定理を証明まで込めて理解すること. （4時間）【授業形態】対面授業
18	位相空間 1 【事前学習】開核, 閉包に関する定理の主張を復習すること. （4時間）【事後学習】位相の導入について理解すること. （4時間）【授業形態】対面授業
19	位相空間 2 【事前学習】位相の導入方法について復習しておくこと. （4時間）【事後学習】近傍の定義と性質を復習すること. （4時間）【授業形態】対面授業
20	近傍の概念の導入【事前学習】位相空間における点の分類を復習しておくこと. （4時間）【事後学習】近傍の定義と性質を復習すること. （4時間）【授業形態】対面授業
21	位相の生成【事前学習】開集合系, 近傍系について復習しておくこと. （4時間）【事後学習】位相の生成方法を理解すること. （4時間）【授業形態】対面授業
22	位相の基底【事前学習】位相の生成方法を復習すること. （4時間）【事後学習】位相の基底の概念を理解すること. （4時間）【授業形態】対面授業
23	連続写像【事前学習】位相空間の定義を復習しておくこと. （4時間）【事後学習】連続性の定義を理解し, 直観と整合させること. （4時間）【授業形態】対面授業
24	同相写像【事前学習】連続性を復習すること. （4時間）【事後学習】同相写像についての性質を証明を込めて理解すること. （4時間）【授業形態】対面授業
25	コンパクト位相空間 1 【事前学習】位相空間の定義を復習しておくこと. （4時間）【事後学習】被覆によるコンパクト性の定義を理解すること. （4時間）【授業形態】対面授業
26	コンパクト位相空間 2 【事前学習】コンパクト性の定義を復習すること. （4時間）【事後学習】点列コンパクト性との関係について証明を込めて理解すること. （4時間）【授業形態】対面授業、オンデマンド型授業
27	距離空間とその位相【事前学習】ユークリッド空間の開集合と閉集合の定理を復習しておくこと. （4時間）【事後学習】距離空間での位相の導入方法を理解すること. （4時間）【授業形態】対面授業
28	完備性【事前学習】実数の完備性を復習しておくこと. （4時間）【事後学習】距離空間の完備性を理解すること. （4時間）【授業形態】対面授業
29	ノルム空間【事前学習】ユークリッドノルムの3角不等式を証明しておくこと. （4時間）【事後学習】ノルム空間と距離空間の関係を理解すること. （4時間）【授業形態】対面授業
30	Banach 空間【事前学習】ノルム空間の諸性質を復習しておくこと. （4時間）【事後学習】Banach 空間の性質を理解すること. （4時間）【授業形態】対面授業

その他
教科書	松坂和夫『集合位相入門』岩波書店
参考書	なし
成績評価の方法及び基準	授業参画度:毎回, TeX で作成した発表原稿を提出していただきます.(100%) 授業参画度とは, 口頭発表の内容, およびその準備状況を総合評価することを意味します. また, 毎回のアドバイスを素直に受け入れ次回の発表で活かし自分の力を伸ばす努力を勘案して評価します.
オフィスアワー	木曜日3限メールや Canvas LMS でも質問を受け付けます.

授業計画
1	集合の概念【事前学習】高校で学んだ集合の扱いを思い出すこと. （4時間）【事後学習】高校数学の集合と大学数学での集合の扱いの違いをまとめておくこと. （4時間）【授業形態】対面授業
2	集合の演算【事前学習】集合の演算をベン図で説明できるようにすること. （4時間）【事後学習】ベン図では扱えない演算に関する証明を理解すること. （4時間）【授業形態】対面授業
3	対応, 写像【事前学習】関数の定義を確認しておくこと. （4時間）【事後学習】関数の定義を抽象化した概念が写像の概念であることを理解すること. （4時間）【授業形態】対面授業
4	全射, 単射【事前学習】全射性, 単射性をベン図で理解しておくこと. （4時間）【事後学習】写像の全射性, 単射性およびそれらの証明方法を理解すること. （4時間）【授業形態】対面授業
5	逆対応【事前学習】逆関数についてまとめておくこと. （4時間）【事後学習】写像に対しても逆写像の概念が定義できることを理解すること. （4時間）【授業形態】対面授業
6	集合族の和集合, 共通集合【事前学習】2つの集合の和集合, 共通集合の定義を復習しておくこと. （4時間）【事後学習】2つの集合の和集合, 共通集合の定義を復習しておくこと. （4時間）【授業形態】対面授業
7	選出公理【事前学習】有限集合と無限集合の扱いの違いをまとめておくこと. （4時間）【事後学習】選出公理の意味と意義を理解すること. （4時間）【授業形態】対面授業
8	同値関係【事前学習】分数の「約分」の意味を考えておくこと. （4時間）【事後学習】同値関係の定義と, 同値類を理解すること. （4時間）【授業形態】対面授業
9	集合の濃度【事前学習】写像の全単射性を復習しておくこと. （4時間）【事後学習】集合の濃度の概念を理解すること. （4時間）【授業形態】対面授業
10	Bernsteinの定理【事前学習】集合の濃度についてまとめておくこと. （4時間）【事後学習】Bernstein の定理の証明をノートに書き下し理解すること. （4時間）【授業形態】対面授業
11	可算集合, 非可算集合【事前学習】集合の濃度について復習しておくこと. （4時間）【事後学習】可算集合, 非可算集合の例をノートにまとめておくこと. （4時間）【授業形態】対面授業
12	順序集合, 極大極小【事前学習】微分積分学で学んだ上限, 下限の考え方が実数の大小に基づいていたことを確認すること.こと. （4時間）【事後学習】抽象的な「順序」の概念を理解すること. （4時間）【授業形態】対面授業
13	整列可能定理【事前学習】集合の元の順序について復習しておくこと. （4時間）【事後学習】整列可能定理の意義を理解すること（4時間）【授業形態】対面授業
14	Zorn の補題【事前学習】順序集合の極大極小の概念を復習しておくこと. （4時間）【事後学習】Zorn の補題の意義をまとめておくこと. （4時間）【授業形態】対面授業
15	集合論総括【事前学習】前期に学んだ定理の主張と意味をまとめておくこと. （4時間）【事後学習】定理の証明概略を説明できるようにすること. （4時間）【授業形態】対面授業
16	ユークリッド空間の距離と位相【事前学習】これまで学んだ開集合と閉集合について復習しておくこと. （4時間）【事後学習】開集合系の性質を理解すること. （4時間）【授業形態】対面授業
17	開核, 閉包の特徴づけ【事前学習】開集合系の復習をすること. （4時間）【事後学習】開核, 閉包に関する定理を証明まで込めて理解すること. （4時間）【授業形態】対面授業
18	位相空間 1 【事前学習】開核, 閉包に関する定理の主張を復習すること. （4時間）【事後学習】位相の導入について理解すること. （4時間）【授業形態】対面授業
19	位相空間 2 【事前学習】位相の導入方法について復習しておくこと. （4時間）【事後学習】近傍の定義と性質を復習すること. （4時間）【授業形態】対面授業
20	近傍の概念の導入【事前学習】位相空間における点の分類を復習しておくこと. （4時間）【事後学習】近傍の定義と性質を復習すること. （4時間）【授業形態】対面授業
21	位相の生成【事前学習】開集合系, 近傍系について復習しておくこと. （4時間）【事後学習】位相の生成方法を理解すること. （4時間）【授業形態】対面授業
22	位相の基底【事前学習】位相の生成方法を復習すること. （4時間）【事後学習】位相の基底の概念を理解すること. （4時間）【授業形態】対面授業
23	連続写像【事前学習】位相空間の定義を復習しておくこと. （4時間）【事後学習】連続性の定義を理解し, 直観と整合させること. （4時間）【授業形態】対面授業
24	同相写像【事前学習】連続性を復習すること. （4時間）【事後学習】同相写像についての性質を証明を込めて理解すること. （4時間）【授業形態】対面授業
25	コンパクト位相空間 1 【事前学習】位相空間の定義を復習しておくこと. （4時間）【事後学習】被覆によるコンパクト性の定義を理解すること. （4時間）【授業形態】対面授業
26	コンパクト位相空間 2 【事前学習】コンパクト性の定義を復習すること. （4時間）【事後学習】点列コンパクト性との関係について証明を込めて理解すること. （4時間）【授業形態】対面授業、オンデマンド型授業
27	距離空間とその位相【事前学習】ユークリッド空間の開集合と閉集合の定理を復習しておくこと. （4時間）【事後学習】距離空間での位相の導入方法を理解すること. （4時間）【授業形態】対面授業
28	完備性【事前学習】実数の完備性を復習しておくこと. （4時間）【事後学習】距離空間の完備性を理解すること. （4時間）【授業形態】対面授業
29	ノルム空間【事前学習】ユークリッドノルムの3角不等式を証明しておくこと. （4時間）【事後学習】ノルム空間と距離空間の関係を理解すること. （4時間）【授業形態】対面授業
30	Banach 空間【事前学習】ノルム空間の諸性質を復習しておくこと. （4時間）【事後学習】Banach 空間の性質を理解すること. （4時間）【授業形態】対面授業