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基礎数理特別講究Ⅱ
| 令和５年度以降入学者 | 基礎数理特別講究Ⅱ | ||||
|---|---|---|---|---|---|
| 教員名 | 山浦義彦 | ||||
| 単位数 | 1 | 課程 | 前期課程 | 開講区分 | 文理学部 |
| 科目群 | 地球情報数理科学専攻 | ||||
| 学期 | 後期 | 履修区分 | 選択必修 | ||
| 授業形態 | 対面授業 |
|---|---|
| 授業概要 | 授業で扱う「関数解析学」は, Banach らにより, 微分積分学における 実数空間を, 関数からなる関数空間に抽象化することによって確立された 分野である. その結果, 関数解析学に登場する多くの概念が微分積分学 の概念の一般化, 抽象化であることが多い. 本授業を通じて, このこと を深く理解し, 関数解析学そのものの理解に加え, 高い視点から微分積分学を眺め直す. |
| 授業のねらい・到達目標 | 関数解析学で現れる「関数空間の完備性」「弱点列コンパクト性」 「共役空間と弱収束性」「Banach-Steinhaus の定理」といった 概念の理解を通じて, 修士論文課題の理解, およびその研究へとつなげる. |
| 授業の形式 | 講究、ゼミ |
| 授業の方法 | 関数解析学の書籍を指定し, 学生は毎回決められた範囲を熟読し, 他者にその内容を伝えられるように準備をし, 対面で口頭発表形式で 内容の紹介を行う. 適正, かつ, 深い理解が得られると判断された場合は次の単元に進む. |
| 授業計画 | |
|---|---|
| 1 |
距離空間の復習
【事前学習】距離空間の定義を復習しておくこと. （4時間） 【事後学習】距離空間における位相について総括する. （4時間） 【授業形態】対面授業 |
| 2 |
連続写像
【事前学習】連続性の定義を確認しておくこと. （4時間） 【事後学習】関数列の収束について理解すること. （4時間） 【授業形態】対面授業 |
| 3 |
直積位相の生成
【事前学習】位相の生成方法を復習しておくこと. （4時間） 【事後学習】直積位相の定義と導入方法をまとめること. （4時間） 【授業形態】対面授業 |
| 4 |
ガレルキン法による弱解の構成 1【対面, 遠隔いずれにも対応】
【事前学習】ヒルベルト空間における基底の概念を思い出しておくこと. （4時間） 【事後学習】ソボレフ空間における直交基底を理解すること. （4時間） 【授業形態】対面授業 |
| 5 |
コンパクト性
【事前学習】コンパクト性の定義を復習すること. （4時間） 【事後学習】可算コンパクト, 相対コンパクトについて総括する. （4時間） 【授業形態】対面授業 |
| 6 |
連結性
【事前学習】連続性を復習しておくこと. （4時間） 【事後学習】連結性の定義を理解すること. （4時間） 【授業形態】対面授業 |
| 7 |
ノルム空間
【事前学習】ノルム空間について復習しておくこと. （4時間） 【事後学習】ノルム空間の例と完備化について理解すること. （4時間） 【授業形態】対面授業 |
| 8 |
連続関数空間
【事前学習】アスコリ-アルツェラの定理を復習しておくこと. （4時間） 【事後学習】ストーンワイエルシュトラスの定理を理解すること. （4時間） 【授業形態】対面授業、オンデマンド型授業 |
| 9 |
ヒルベルト空間
【事前学習】内積の公理を理解しておくこと. （4時間） 【事後学習】ヒルベルト空間の定義と性質を理解すること. 第10回 （4時間） 【授業形態】対面授業 |
| 10 |
局所凸線形位相空間
【事前学習】近傍系の定義を復習しておくこと. （4時間） 【事後学習】位相導入方法を理解すること. （4時間） 【授業形態】対面授業 |
| 11 |
連続線形作用素
【事前学習】有限次元線形空間上の線形写像の定義を復習しておくこと. （4時間） 【事後学習】線形作用素に対する有界性と連続性が同値であることを理解すること. （4時間） 【授業形態】対面授業 |
| 12 |
線形汎関数とリースの表現定理
【事前学習】線形汎関数の定義を理解しておくこと. （4時間） 【事後学習】リースの表現定理を直観的に理解すること. （4時間） 【授業形態】対面授業 |
| 13 |
ハーン・バナッハの定理
【事前学習】集合論の Zorn の補題を復習しておくこと. （4時間） 【事後学習】ハーン・バナッハの定理の証明を理解すること. （4時間） 【授業形態】対面授業 |
| 14 |
弱収束とスター弱収束
【事前学習】連続線形汎関数の概念を復習しておくこと. （4時間） 【事後学習】弱収束を理解し, 強収束との関係を理解すること. （4時間） 【授業形態】対面授業 |
| 15 |
バナッハ・シュタインハウスの定理
【事前学習】 シュワルツの不等式を理解しておくこと （4時間） 【事後学習】バナッハ・シュタインハウスの定理の証明を理解すること. （4時間） 【授業形態】対面授業 |
| その他 | |
|---|---|
| 教科書 | Lawrence C. Evans, Partial Differential Equations:Graduate Studies in Mathematics, American Mathematical Society |
| 参考書 | なし |
| 成績評価の方法及び基準 | 授業参画度:毎回, TeX で作成した発表原稿を提出していただきます.(100%) 授業参画度とは, 口頭発表の内容, およびその準備状況を総合評価することを意味します. また, 毎回のアドバイスを素直に受け入れ次回の発表で活かし自分の力を伸ばす努力を 勘案して評価します. |
| オフィスアワー | 水曜日のゼミ終了後、メールなどの手段により行う |
| 備考 | 「事前学習・事後学習」に関する学習時間は目安です. |